Root One

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10adic指数関数と対数関数の意外な関係

10 adicの指数関数はべき級数

\begin{align} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\end{align}

と定義します。

通常の指数関数と違い、収束半径は小さく、x20 で割れないと収束しません。

ところで

10adic対数関数 - Root One

の10adicの対数表によれば

\begin{align} \log 3 = \cdots 439314850693280080844278655220\end{align}

であり、20 で割り切れます。したがって、

\begin{align} \exp(\log 3) \end{align}

は計算できることになりますが、果たして 3 になるでしょうか。

実際、定義に従って\exp(\log 3) を計算してみると、期待に反して、

\begin{align} \exp(\log 3) = \cdots 587235541010744998887421\end{align}

となってしまい、 3 に戻りません。

では、一体この右辺の値はどんな量なのかというと、証明は略しますが実は

\begin{align} \sqrt[4]{1}=\cdots 11847003581666295807 \end{align}

となるものをとるとき、

\begin{align} 3 \cdot \sqrt[4]{1} = \cdots 587235541010744998887421\end{align}

が成立します。つまり、

\begin{align} \exp(\log 3) = 3 \cdot \sqrt[4]{1} \end{align}

ということになります。

本当の逆関数であれば、左辺は 3 になるはずなのですが、10adicの世界では諸事情?により、

\begin{align} \sqrt[4]{1}=\cdots 11847003581666295807 \end{align}

だけずれてしまうことになります。

10adic指数関数と対数関数のMaximaを用いた計算法は

10adic指数関数と対数関数(外部サイト)

にあります。