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数学中心のブログです。

10adic対数関数

久しぶりに10 adicのお話です。

10adicの世界でも指数関数を考えることができるという話は以前していて、例えば

 \displaystyle 3^{1+\sqrt{1}} = 4 + 5 \sqrt{1}

という少し不思議な等式を紹介したこともありました。

ちょっと難しいかもしれませんが、これについては

指数関数の値 (外部サイト)

で証明しています。

今回は10adicの対数関数について考えます。

対数関数は、おそらくべき級数

 \displaystyle \log (1+x) = \sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}

として定義するのが普通なのかもしれませんが、ここでは

 \displaystyle \log x: = \lim_{|h|_{10} \to 0} \frac{x^h-1}{h} 

として定義することにします。こうすると

 \displaystyle \log 3 = \cdots  2848576493439314850693280080844278655220

のように計算することができます。

もう少し詳しい議論は

10adic対数関数 (外部サイト)

にあります。そこにもありますが、10adicの対数表をここにも置いておきます。

log(1) 0
log(3) 90019823112848576493439314850693280080844278655220
log(7) 5586979560633425174395291992894902155239551280600
log(9) 80039646225697152986878629701386560161688557310440
log(11) 71106824578391282763269738035428724288142750684460
log(13) 30014769227296998141600160323009540423034697535940
log(17) 77971142260363766723683519437401987213489115656080
log(19) 59097584378015115950621606255410805879195081983780
log(21) 95606802673482001667834606843588182236083829935820
log(23) 22382897935058888051413161421448084104977268418760
log(27) 70059469338545729480317944552079840242532835965660
log(29) 97798846647728300178201206031847975543514450928020
log(31) 74644513498439453658032250654972777814723280666080
log(33) 61126647691239859256709052886122004368987029339680
log(37) 80249814295132397773550198179919992890550163533340
log(39) 20034592340145574635039475173702820503878976191160
log(41) 64745144118554374765213360801115040394662590527240
log(43) 88379482971608740644332811581651070573744432674700
log(47) 91657571987339575386944577998212108763538980023120
log(49) 11173959121266850348790583985789804310479102561200
log(51) 67990965373212343217122834288095267294333394311300
log(53) 78742320626571937991693874580140279780945101939820
log(57) 49117407490863692444060921106104085960039360639000
log(59) 91953304298845138284562302282869710563648385166140
log(61) 77359133609393162142709102476025278605993656350260
log(63) 85626625786330578161273921694281462316928108591040
log(67) 3892849449173292185569943358805830308552657324980
log(69) 12402721047907464544852476272141364185821547073980
log(71) 74693570273115371646004562312267147569354532916120
log(73) 42599555499725156685761700061195767362484368824360
log(77) 76693804139024707937665030028323626443382301965060
log(79) 33868393602704118838119506335825578450790416892720
log(81) 60079292451394305973757259402773120323377114620880
log(83) 86477922554355612298593367759952822783542760375780
log(87) 87818669760576876671640520882541255624358729583240
log(89) 19381579402760258090505675317909549813078546370360
log(91) 35601748787930423315995452315904442578274248816540
log(93) 64664336611288030151471565505666057895567559321300
log(97) 17598579544088868577383616313568648143006821543520
log(99) 51146470804088435750148367736815284449831307994900

注意:これは「10adic」の対数表です。通常の対数表ではありません。

表をよく見ると、ちゃんと

 \displaystyle \log 3 + \log 7 = \log 21

のように対数法則も成り立っていることが読み取れます。

1の平方根

対数関数の定義から、1の平方根\omegaに対して常に

 \displaystyle \log \omega = 0

となります。したがって特に

 \displaystyle \log (-\sqrt{1}) = 0

が成立します。ここでルート1は

 \displaystyle \sqrt{1} = \cdots 8213239954784512519836425781249

 と選んでいます。

すると

 \displaystyle 1+\sqrt{1} \in 10 \mathbb{Z}_{10}

なので、

\begin{align} 0=\log (-\sqrt{1}) &= \log (1 - (\sqrt{1}+1)) \\ &= -\sum_{n=1}^ \infty \frac{ ( \sqrt{1}+1)^n}{n}\\ &= -\sum_{n=1}^ \infty \frac{2^n}{n} \left( \frac{\sqrt{1}+1}{2}\right)^n \\ &= -\sum_{n=1}^ \infty \frac{2^n}{n} \cdot \frac{\sqrt{1}+1}{2} \end{align}

と変形できます。

つまり、

 \displaystyle 0= \sum_{n=1}^ \infty \frac{2^n}{n} \cdot \frac{\sqrt{1}+1}{2}

が得られますが、

 \displaystyle \frac{\sqrt{1}+1}{2}

が5で無限回割れて、2では割れないことから、

 \displaystyle \sum_{n=1}^ \infty \frac{2^n}{n}

が無限回2で割れるようにならなければならないことが分かります。(10adicの世界で0というのは、10で無限回割れることを意味します。)

有限的な主張に言い換えれば、任意に与えられた自然数Mに対して、充分大きいNを取れば

 \displaystyle g(N):=\sum_{n=1}^N \frac{2^n}{n}

の分子が 2^M で割り切れるということになります。

検証

上で定義したg(N) がどれくらい2で割れるのか実験します。

 \displaystyle g(1) = 2, \quad g(2) = 2 + \frac{2^2}{2} = 4

は簡単に計算でき、g(1) は2で1回、g(2) は2で回割れることがわかります。次は

 \displaystyle g(3) = 4 + \frac{2^3}{3} =\frac{20}{3} 

となりますが、これは2で2回しか割れません。次は

 \displaystyle g(4)=\frac{32}{3}

となり、急に2で5回割れるようになります。さらに計算すると

 \displaystyle g(5)=\frac{256}{15}

となり、2で8回割れるようになります。勢いがついてきたような気がしますが、

 \displaystyle g(6) = \frac{416}{15}

の分子は2で5回しか割れません。次も

 \displaystyle g(7) =\frac{4832}{105}

で分子はやはり、2で5回しか割れません。こうなると主張自体を疑ってしまいますが、次を計算すると

 \displaystyle g(8) = \frac{8192}{105}

となり、分子が2で13回割れるようになります。(この場合、分子はちょうど 2^{13} となっています。)

さらに計算していくと、

 \displaystyle g(30) = \frac{10808563553590575104}{145568097675}

となり、分子は2で27回割れます。

これくらい計算すると、主張の妥当性も感じられるのではないかと思います。

まとめ

10adic対数関数を考えることで、ダイレクトに証明するのは難しそうな次の主張

 \displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{2^n}{n}

を既約分数でまとめた時、分子を望むだけ2で割れるようにNを取ることができる。

を得ることができました。

ちなみにこのような議論は10adicではなく、通常「2adic」の世界でなされるもので、p進界隈では結構有名な話のようです。

追記

いろいろ実験していたところ

予想

 \displaystyle {\rm ord}_{2} \left( g(2^n) \right)  = 2^n-2+2n \quad (n \geq 4) 

を得ました。(左辺の記号{\rm ord}_{2}2 で何回われるかというものです.)

一般的な評価としては

 \displaystyle {\rm ord}_{2} \left( g(n) \right) \geq n+1 - \log_2 (n+1 ) 

くらいは言えて、これから

定理

 \displaystyle {\rm ord}_{2} \left( g(2^n-1) \right)  = 2^n - n \quad (n \geq 1) 

は言える模様です。