Root One

数学中心のブログです。

テイラー展開可能性の特殊性

今回のテーマは「テイラー展開」です。

テイラー展開は、おそらく大学1年の「微分積分学」の授業で教わる概念だと思いますが、通常、数学の概念がそうであるように、この概念も「さらっと」何でもないことのように教わることが多いのではないかなと思います。

しかし、よく考えてみると「テイラー展開可能」というのはすごく強い主張であるはずです。

「それはなぜか」

というのを以下考えていきます。

テイラー展開可能であるとは

ある関数f(x) が原点を中心にテイラー展開可能であるとは

 \displaystyle f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n =  f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \cdots

が適当な範囲の  x で成り立つということになりますが、話を単純化するため、右辺のべき級数の収束半径が無限大の場合を考えます。つまり、すべての  x について

 \displaystyle f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \cdots

が成り立つという状況を考えます。

この条件を満たす関数はいわゆる整関数と呼ばれていて、身近な関数でいえば、多項式や指数関数、三角関数  \sin(x) などがあげられます。

例.

 \displaystyle e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad ( x \in \mathbb{C} )

テイラー展開可能であると仮定すると何が起きるか

関数 f(x)テイラー展開可能で、

 \displaystyle f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n 

がすべての x について成立するという状況を考えます。

すると、当然ですが、x=1 でも成り立つので、

 \displaystyle f(1) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \tag{1} \label{fsif}

が成立することになります。

まず、右辺ですが、利用している f(x) の情報は f(x)x=0 における n導関数だけです。つまり右辺では、

f(x)x=0 付近の情報しか使われていない!

ということです。

ここで x=0 付近といっていますが、この付近というのはx=0 を含むどんな小さな開区間でもOKです。

しかし、 \eqref{fsif} の左辺は  f(1) というx=0 からある程度離れた点の値になっています。

これがテイラー展開の不思議な点です。

イメージしやすいようにもう少し具体的に述べます。

\eqref{fsif} という等式が何を意味しているかというと、

\begin{align} \displaystyle f(x) \quad \left( \frac{-1}{10^{100} } < x < \frac{1}{10^{100} } \right) \end{align}

というような  x=0 付近の情報から

 \displaystyle f(1)

が決定できる。

ということになります。

このように考えると、テイラー展開の特殊性が見えてきたのではないかと思います。なぜならば、一般的な関数でいえば  x=0 付近の情報とf(1) の間には何の関係もないと思われるからです。

 f:id:likethenovel:20191016161451p:plain

 上の図のようにフリーハンドでグラフを描いてみるとより不思議な感じがするはずです。連続関数に限定しても、一般的には、原点付近の様子から、原点から離れたところのグラフは当然ながら決定しません。

例えばフリーハンドならば

f:id:likethenovel:20191016162839p:plain

というように、原点近傍の様子を変えることなく、途中からグラフを変形させることも容易です。

それにもかかわらず、テイラー展開の主張は (ざっくりいえば)

「原点付近の情報ですべてが決定する」

 ということをいっているわけですから、これがいかに特殊な主張であるかがわかるはずです。

なぜテイラー展開の特殊性に気づきにくいのか

上で述べたようにテイラー展開の主張は非常に強いものです。収束半径が小さくても同じです。

それにもかかわらず、テイラー展開が当然のように受け入れられるのは、多くの親しみある関数がテイラー展開可能だからでしょう。例えば多項式、有理式、指数関数、対数関数、三角関数といういわゆる初等関数といわれるものは部分的にはテイラー展開できてしまうので、あたり前の性質に感じてしまうのかもしれません。

ここからはかなり個人的見解ですが、数学は、関数の発見に関してはまだまだなのかなと感じます。おそらく、部分的にもテイラー展開できないような関数の中で、面白い関数がたくさん眠っているのではないでしょうか。 そして、そのような関数がたくさん発見された後になれば、テイラー展開に関する感じ方も変わってくるのかなと思います。

テイラー展開の逆の発想

原点中心のテイラー展開は、原点近傍という局所的情報から、大域的情報を決定するものでした。逆に大域的情報から局所的情報を得ることはことはできないでしょうか。

以前の記事で見た関係式

 \displaystyle \frac{d}{dx} f(x)= \log (1 + \Delta) f(x)

はまさにそれです。これが成立するとすれば、右辺は f(n) という離散的な全体的情報になり、一方左辺は x 付近の局所的情報を意味するわけです。

したがって、これが成立するというのもまた非常に強い主張になります。

実際、この等式を仮定すると、自然数上でしか定義されていないような関数を微分できてしまうことになります。

たとえば

 \displaystyle f(x) = \frac{1}{x!}

を考えます。これはとりあえず x \in \mathbb{Z} _{\geq 0} で定義されるものとします。(もちろんガンマ関数を用いれば複素数まで拡張できますが、その拡張は一意性の問題がありますし、ここでは考えません。)

離散的にしか定義されていないので本来微分などはできるわけないのですが、

 \displaystyle \frac{d}{dx} f(x)= \log (1 + \Delta) f(x)

を仮定すると、強引に微分できてしまう事になります。

Note. 残念ながら、収束も不明ですし、収束したとしてもガンマ関数としての拡張と一致する関係式が得られるかどうかは検証できていません。