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この関数方程式が解けますか?(2)

次の関数方程式を満たす関数  f(x) を一つ求めてください。

 \displaystyle f(x) + f(2x+1) + f(3x+2) = x^2.

参考情報

この問題も某予備校講師のAさんに解いてもらいましたが、前の問題

この関数方程式が解けますか? - Root One

よりは簡単だったということでした。

 

解答は下です。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答例.

関数方程式

 \displaystyle f(x) + f(2x+1) + f(3x+2) = x^2

において、 x=-1 とすると

 \displaystyle 3f(-1) = 1

が得られます。また、関数方程式を微分すると

 \displaystyle f'(x) + 2f'(2x+1) + 3f'(3x+2) = 2x.

もう一度微分すると

 \displaystyle f''(x) + 2^2f''(2x+1) + 3^2f''(3x+2) = 2.

が得られます。今得た二つの等式で x=-1 とすると

 \displaystyle 6f'(-1) = -2 ,\quad  14f''(-1) = 2

が得られます。

同様の議論で

 \displaystyle f^{(n)}(-1)  = 0 \quad (n \geq 3)

が分かります。したがって、 f(x)テイラー展開できると仮定すると

\begin{align} f(x) &= f(-1) + f'(-1)(x+1) + \frac{1}{2} f''(-1)(x+1)^2 \\ &= \frac{1}{3} - \frac{x+1}{3}+\frac{(x+1)^2}{14} \\ &= \frac{1}{42} ( 3 x^2-8 x+3)  \end{align}

が得られます。

実際に計算することで、これが問題の関数方程式の解であることが確認できます。

 

今回の問題は、前回より一見複雑ですが、結果は二次多項式という単純なものになりました。解答例も「テイラー展開さえ知っていれば」という感じのもので、前回より易しかったのではないかと思います。

前回は多項式解が存在しなかったので、比較すると意表を突くような問題になっているかもしれません。