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関数方程式の解法

前回、指数関数 e^x微分演算子を代入して

 \displaystyle f(x+1) = \exp \left( \frac{d}{dx} \right) f(x)

がある種の関数について成立することを確認しました。

この関係式の応用例として

 \displaystyle f(x+1) - f(x) = g(x)

の形の関数方程式を解いたのですが、他にもいろいろな関数方程式を解くことができます。

例1.

 \displaystyle f(x+1)+f(x)=x^3.

これを

 \displaystyle \left( \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) + 1 \right) f(x) = x^3

と書きかえ、f(x) について解きます。

\begin{align} f(x) &= \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) + 1} x^3 \\ &= \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}+\frac{1}{48}\left(\frac{d}{dx} \right)^3 +\cdots \right) x^3 \\ &= \frac{x^3}{2}-\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{8}. \end{align}

例2.

 \displaystyle f(x+2) + f(x+1)+f(x) = x^3.

これを

 \displaystyle \left( \exp \left( 2 \frac{d}{dx} \right ) + \exp \left(  \frac{d}{dx} \right ) +1 \right) f(x) = x^3

と書きかえ、f(x) について解きます。

\begin{align} f(x) &= \frac{1}{ \exp \left( 2\frac{d}{dx} \right ) + \exp \left( \frac{d}{dx} \right )+1} x^3 \\ &= \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{3} \frac{d}{dx}+\frac{1}{18}\left(\frac{d}{dx} \right)^2+\frac{1}{18}\left(\frac{d}{dx} \right)^3+\cdots \right) x^3 \\ &=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{x}{3}+\frac{1}{3} . \end{align}

もう少し詳しい説明は、

関数方程式の解法(外部サイト)

にあります。