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指数関数に微分演算子を代入

関数に代入して良いのは、変数や数値だけではありません。かなり大胆ですが、微分演算子を代入することもできます。

今回は、指数関数 e^x微分演算子

\displaystyle \frac{d}{dx}

を代入するとどうなるかについて考察し、応用として、べき乗和の公式の導出方法について述べます。

ポイントとなる関係式は次です。

\displaystyle f(x+1) = \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) f(x).
指数関数に微分演算子を代入する

指数関数e^xテイラー展開

\displaystyle e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\cdots

となりますが、この x微分演算子

\displaystyle \frac{d}{dx}

を代入して \displaystyle \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) =1 + \frac{d}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{d}{dx} \right) ^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{d}{dx} \right) ^3 +\cdots

について考えます。

これを関数f(x) の左においてみれば、

\displaystyle \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) f(x) =f(x) + f'(x) + \frac{f''(x)}{2!} + \cdots

となりますが、ここで右辺が何と等しいか考えましょう。

t=a におけるf(w)テイラー展開

\displaystyle f(w) = f(a) + f'(a)(w-a) + \frac{f''(a)}{2!}(w-a)^2 + \cdots

なので、 a=x, w=x+1 とすると、

\displaystyle f(x+1) = f(x) + f'(x) + \frac{f''(x)}{2!} + \cdots

が (収束などの適当な仮定の下で) 一致することになります。

つまり、ざっくりいえば、適当な関数f(x) に対して

\displaystyle \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) f(x) = f(x+1)

が成立するということです。

例1.  f(x) = x^2 の場合.

\displaystyle \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) x^2 =\left(1 + \frac{d}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{d}{dx} \right) ^2 +\cdots \right) x^2 = x^2 +2x +1 = (x+1)^2

例2.  f(x) = e^x の場合.

\displaystyle \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) e^x =\left(1 + \frac{d}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{d}{dx} \right) ^2 +\cdots \right) e^x = (1+1+\frac{1}{2!}+\cdots ) e^x = e^{x+1}

たしかに、いくつかの例では、

\displaystyle \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) f(x) = f(x+1)

が成立しているようです。
べき乗和の公式とベルヌーイ数

通常、高校では

\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

という公式を学習しますが、一般的にあるN+1次の多項式

\displaystyle \sum_{k=1}^n k^N = T_N(n)

となるものが存在し、さらにこの T_N(n) は具体的に、ベルヌーイ数というものを用いて記述されることが知られています。

ベルヌーイ数は

\begin{align} \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n \end{align}

によって定義されるもので、いくつか計算すると次のような数値になります。
B(0) \displaystyle 1
B(1) -\dfrac{1}{2}
B(2) \dfrac{1}{6}
B(3) 0
B(4) -\dfrac{1}{30}
B(5) 0
B(6) \dfrac{1}{42}
B(7) 0
B(8) -\dfrac{1}{30}
B(9) 0
B(10) \dfrac{5}{66}

多項式 T_N(n) の明示的表示はここでは省略し、導出方法と、なぜここにベルヌーイ数が現れるかについて考えていきます。
べき乗和の公式の導出方法

定義から

\displaystyle T_N(n) = 1^N + 2^N +\cdots + n^N

なので、

\displaystyle T_N(n+1) - T_N(n) = (n+1)^N

が成立します。つまり、T_N(n) を決定するには、差分方程式

\displaystyle f(x+1) - f(x) = (x+1)^N

f(x) について解けば良いことになります。

以下、変数が多いとわかりづらいので、N=2 として、

\displaystyle f(x+1) - f(x) = (x+1)^2 \tag{1} \label{eq:ffx1}

について考えます。

この差分方程式を解くために、先ほど得た「必殺」の公式

\displaystyle \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) f(x) = f(x+1)

を仮定して用います。これを用いれば、\eqref{eq:ffx1} は

\displaystyle \left ( \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1 \right) f(x) = (x+1)^2

と書くことができます。

したがって、形式的に

\displaystyle f(x) = \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1} (x+1)^2

を得ることができます。問題は右辺の

\displaystyle \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1}

の部分ですが、これはベルヌーイ数を用いて

\displaystyle \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} \left( \frac{d}{dx} \right)^{n-1}

と理解します。また、右辺で

\displaystyle \left ( \frac{d}{dx} \right)^{-1}

がでてきますが、これは微分の逆ということで積分と解釈します。

\begin{align} f(x) &= \frac{1}{ \exp \left( \frac{d}{dx} \right ) -1} (x+1)^2 \\ &= \left( \left( \frac{d}{dx} \right)^{-1} + B_1 + \frac{B_2}{2}\frac{d}{dx} + \frac{B_3}{3!}\frac{d^2}{dx^2}+\cdots \right) (x+1)^2 \\ &= \left( \left( \frac{d}{dx} \right)^{-1} -\frac{1}{2} + \frac{1}{12}\frac{d}{dx} + \cdots \right) (x+1)^2 \\ &= \int (x+1)^2 dx -\frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{12}\frac{d}{dx}(x+1)^2 \\ &= \frac{(x+1)^3}{3} -\frac{(x+1)^2}{2} + \frac{(x+1)}{6}+C \\ &= \frac{x\left( x+1\right) \left( 2 x+1\right) }{6} +C\end{align}

となり、f(0)=0 を満たすようにとれば、C=0 となります。

したがって、怪しい点は多々ありましたが、N=2 の場合のべき乗和の公式

\displaystyle 1+2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 =\frac{n\left( n+1\right) \left( 2 n+1\right) }{6}

が無事導出できました。

最後に因数分解するのは大変ですが、それを除けば、この議論はNが一般の場合でも適用可能です。
大胆すぎる議論の根拠

かなりごまかした議論をしましたが、このような議論の根拠は

二つのテイラー展開 (一般には負べきが有限のローラン展開)

\displaystyle f(x) = \sum_{n} a_n x^n , \frac{1}{f(x)} = \sum_{n} c_n x^n

に対して

\begin{align} 1 = f(x)\cdot \frac{1}{f(x)} &= \sum_{k} a_k x^k \sum_{n} c_n x^n \\ &= \sum_{k} \sum_{n} a_k c_n x^k x^n \\ &= \sum_{m} \sum_{k+n=m} (a_k c_n) x^m \end{align}

が形式的に成立するということになります。

根拠といっても、収束の話をしていないので、上の議論の厳密さを保証するものではありません。