Root One

数学中心のブログです。

2べきと5べきの美しい関係式

今回は 10 adic のお話です。

10 adic numbers になじみがない方は、

10 adic number 入門の動画 - Root One

をご覧ください。

2べきと5べきの極限

10 adic の世界では

\begin{align} \lim_{n\to \infty} 2^{5^n} \end{align}

\begin{align} \lim_{n\to \infty} 5^{2^n} \end{align}

がともに収束します。具体的には、以前

\begin{align} \lim_{n\to \infty} 5^{2^n} = \frac{1+\sqrt{1}}{2} \tag{1} \label{eq:lfcsq}\end{align}

となることを

10 adic な指数的極限値 - Root One

で確認しました。

(注:ここで\sqrt{1} は非自明な1の平方根です。)

そうなると気になるのが、

\begin{align} \lim_{n\to \infty} 2^{5^n} \end{align}

の値です。天下り的ですが、とりあえず

\begin{align} a:=\lim_{n\to \infty} 2^{5^n} -\lim_{n\to \infty} 5^{2^n} \end{align}

とおくと、関係式

\begin{align} a^4=1\end{align}

が、少し計算すると導かれるので、1の原始4乗根を用いて

\begin{align} \lim_{n\to \infty} 2^{5^n} -\lim_{n\to \infty} 5^{2^n}= \sqrt[4]{1} \end{align}

と表現できます。したがって、\eqref{eq:lfcsq} の結果を用いると

\begin{align} \lim_{n\to \infty} 2^{5^n} =   \sqrt[4]{1}+\frac{1+\sqrt{1}}{2} \end{align}

が導かれます。

1の原始4乗根の計算方法

すこし専門的になりますが、1の原始4乗根の計算方法は

1の4乗根 (外部サイト)

にまとめてあります。10 adic の世界では、1のべき根は重要な役割を果たし、特に指数関数の計算にこれらの値が用いられます。

1の原始4乗根は4つあり、具体的な数値を16桁記せば次の通りです。

\begin{align} (\cdots 0476581907922943)^4 = \cdots 0000000000000001=1\end{align}

\begin{align} (\cdots 7003581666295807)^4 = \cdots 0000000000000001=1\end{align}

\begin{align} (\cdots 2996418333704193)^4 = \cdots 0000000000000001=1\end{align}

\begin{align} (\cdots 9523418092077057)^4 =\cdots 0000000000000001=1\end{align}

何が美しいのか

表題の「2べきと5べきの美しい関係式」は

\begin{align} \lim_{n\to \infty} 2^{5^n} -\lim_{n\to \infty} 5^{2^n}= \sqrt[4]{1} \end{align}

を指したものです。

10 adic の世界で、2と5は10の素因数になので特別な数なのですが、これらを組み合わせて作られる指数的極限の差が、ちょうど1の原始4乗根になるというのはきれいだと思うのですが、どうでしょうか。