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三角形の内接円・外接円・傍接円・九点円

一つの三角形に対して、内接円と外接円がそれぞれ一つずつ決まります。

今回は、これらの円の他に傍接円というものを扱いますが、これは比較的なじみの薄いものかもしれません。

傍接円は、三角形外部に中心があって、一辺に接し、他の2辺の延長線と接するものをいいます。

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各辺に対応して一つずつあるので、傍接円は合計で三つ存在することになります。

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この傍接円と関連する概念として、九点円というものもあります。

九点円は、三角形の各辺の中点を通る円のことで、傍接円と接することが知られています。(なぜ九点円というかは、他にも特徴ある6点を通るからです。)

動画

次の動画では、三角形の2点を固定して、1点を円上に動かしています。

そして、この動く三角形の

内接円+外接円+傍接円(3つ) +九点円 = 6 個の円

が変化していく様子を記録しています。


三角形の内接円・外接円・傍接円・九点円

太線が基本の三角形で、外側の三角形は、傍接円の中心を結んだものです。

内接円と傍接円の関係

内接円と傍接円は、半径と中心座標がそれぞれ似た形で表現されます。

内接円

三角形ABCの面積を Sとし、頂点ABCに対応する辺の長さをa,b,cとおくとき、

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内接円の半径は、

 \displaystyle \frac{2S}{a+b+c}

となります。

内接円の中心は、頂点A,B,Cの位置ベクトルを\vec{a},\vec{b},\vec{c}とおくと

 \displaystyle \frac{ a \cdot \vec{a} +b \cdot \vec{b} +c \cdot \vec{c}}{a+b+c}

となります。

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傍接円

長さaの辺に接する傍接円の半径は、

 \displaystyle \frac{2S}{-a+b+c}

となります。

また、この傍接円の中心は、

 \displaystyle \frac{ -a \cdot \vec{a} +b \cdot \vec{b} +c \cdot \vec{c}}{-a+b+c}

となります。

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つまり、内接円の半径と中心を表す式で、一つの辺の長さを表す変数をマイナス倍してみると、その辺に接する傍接円の半径と中心が求められることになります。