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数学中心のブログです。

フィボナッチ数列の周期と零に収束する部分列

フィボナッチ数列自身は、単調増加なので周期はないですが、自然数で割った余りを考えると、周期をもつことが知られています。

フィボナッチ数列の下1桁(1の位)

フィボナッチ数列の1の位は、10で割った余りで考えることと同じなので、周期的になります。

フィボナッチ数列を順番に並べてみると

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 ...

となりますが、ここから1の位だけを抜き出すと

0 1 1 2 3 5 8   3   1   4   5   9     4     3     7     0 ...

となります。これを a_n とおくと

 \displaystyle a_{n+2} \equiv a_{n+1} + a_{n} \mod 10

の関係があり、a_n は1桁なので、一意に決定します。

この数列 a_n をいくつか並べてみると

011235831459437077415617853819099875279651673033695493257291

011235831459437077415617853819099875279651673033695493257291

011235831459437077415617853819...

となるのですが、この数列は周期60で循環します。

フィボナッチ数列の下 n

今確認したように

フィボナッチ数列の下桁、つまり  f_n \mod 10 は周期60で循環します。

では下桁はどうなるかというと、

  f_n \mod 10^2 を調べればよいですが、これは周期300で循環することが知られています。

一般には、次のことが知られているはずです。(間違っていたらごめんなさい.)

フィボナッチ数列の下桁は周期1500で循環。

フィボナッチ数列の下 4 桁は周期15000で循環。

フィボナッチ数列の下 5 桁は周期150000で循環。

以下10倍ずつで周期は増加していくようです。

零に収束するフィボナッチ数列の部分列

フィボナッチ数列

 \displaystyle f_{n+2} = f_{n+1} + f_n \quad (f_0=0,f_1=1)

として定義されますが、f_n は明らかに単調増加なのでいくら n を増加させても当然 f_n0 に近づいたりはしません。

ただし、これは実数の世界で考えた場合です。10 adic で考えると 0 に収束する部分列がとれる可能性があります。

実際、上の周期に関する主張が正しければ、

 \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{15\cdot 10^n} = 0

が 10 adic の世界で成立するはずです。

例.

\begin{alignat}{2} f_{15} &=&610 \\ f_{150} &=&\cdots 4405760200 \\ f_{1500} &=&\cdots 3354898000 \\ f_{15000} &=&\cdots 3548980000 \\ f_{150000} &=&\cdots5489800000 \\ f_{1500000} &=&\cdots4898000000 \end{alignat}

この例をみると、確かに10adicの世界で0に収束する様子がみてとれます。