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ビエトの公式

円周率 \pi に関する公式はたくさんありますが、

今回はビエトの公式とよばれるもの周辺のものをまとめます。

ビエトの公式

ビエトの公式は、多重平方根による円周率の無限積表示で、次のような形になります。

 \displaystyle \frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} }}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots

この公式自体の導出は簡単です。

導出方法

三角関数の2倍角公式

 \displaystyle \sin (x) = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}

を繰り返し用いると

\begin{align} \sin x &= 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ &= \cos \frac{x}{2} \left( 2 \sin \frac{x}{2} \right) \\ &= \cos \frac{x}{2} \left( 2^2 \sin \frac{x}{2^2} \cos \frac{x}{2^2} \right) \\ &= \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \left( 2^2 \sin \frac{x}{2^2} \right) \\ &= \cdots \\ &= \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^2} \cdots \cos \frac{x}{2^n} \left( 2^n \sin \frac{x}{2^n} \right) \\ &= \left( 2^n \sin \frac{x}{2^n} \right) \prod_{k=1}^n \cos \frac{x}{2^k} \end{align}

つまり、

 \displaystyle \sin x = 2^n \sin \frac{x}{2^n} \prod_{k=1}^n \cos \frac{x}{2^k} \quad \tag{1} \label{eq:s2fpd}

が得られます。ここで

 \displaystyle \lim_{n\to \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n} = x

という関係式に注意して、\eqref{eq:s2fpd} において n \to \infty とすると

 \displaystyle \sin x = x \prod_{k=1}^\infty \cos \frac{x}{2^k}

が得られます。この等式で x= \frac{\pi}{2}  を代入すると

 \displaystyle 1 = \frac{\pi}{2} \prod_{n=2}^\infty \cos \frac{\pi}{2^n}

となりますが、\cos x の2倍角公式から得られる

 \displaystyle \cos \frac{\pi}{2^n} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2} }}}}{2} \quad (\text{ルートが$n-1$個})

という関係式を用いると、ビエトの公式が得られます。

関連する公式

ビエトの公式は、三角関数の2倍角公式をくりかえすことで得られました。同じような議論で次の等式を得ることもできます。

 \displaystyle \frac{e^x-1}{x} = \prod_{n=1}^\infty \frac{1+\exp \left( \displaystyle \frac{x}{2^n}\right) } {2}

たとえば x=\log 2 とすると

\begin{align} \displaystyle \frac{1}{\log 2 } = \frac{1+\sqrt{2}}{2}  \frac{1+\sqrt[4]{2}}{2} \frac{1+\sqrt[8]{2}}{2} \frac{1+\sqrt[16]{2}}{2} \cdots \end{align}

が得られます。

導出方法

 \displaystyle f(x) = e^x -1

とおくと

 \displaystyle f(x) = (e^{x/2}-1)(e^{x/2}+1) = f\left ( \frac{x}{2} \right)(e^{x/2}+1)  

因数分解できます。これを繰り返し用いると

 \displaystyle f(x) = 2^n f\left ( \frac{x}{2^n} \right) \prod_{k=1}^n \frac{1+\exp \left( \displaystyle \frac{x}{2^k}\right)}{2}

が得られますが、 n \to \infty とすると

 \displaystyle \lim_{n \to \infty} 2^n f\left ( \frac{x}{2^n} \right) = x

に注意すれば

 \displaystyle f(x) = x \prod_{k=1}^\infty \frac{1+\exp \left( \displaystyle \frac{x}{2^k}\right)}{2}

が得られます。

その他の関連する公式

導出方法は省略しますが、次のような関係式も知られています。

 \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\pi} = \frac{1+\sqrt{2} }{2} \frac{1+\sqrt{2-\sqrt{2}} }{2} \frac{1+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2} }} }{2} \cdots 

 \displaystyle \frac{1}{3} = \left(\sqrt{2}-1 \right) \left(\sqrt{2+\sqrt{2}}-1\right)\left (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}-1 \right )\cdots