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数学中心のブログです。

(-1)×(-1) = 1 の 10adic的解釈

次の等式

 (-1)\times (-1)= 1 

について考えます。

分配法則を使用した説明

 \displaystyle 0 = (-1)\times 0 = (-1) \times ((-1)+1) ) =  (-1)\times(-1) -1

と変形できるので、初めと終わりを結んで

 \displaystyle 0 = (-1) \times (-1) -1 

が得られます。ここで

 \displaystyle x = (-1) \times (-1)

とおくと

 \displaystyle x- 1 = 0

を満たすので、x=1 が得られます。したがって

 \displaystyle (-1) \times (-1) = 1

を導出することができました。

「分配法則が成立する」という仮定を使用しているところがポイントでしょうか。

10adic的説明

10adic の世界では

 \displaystyle \cdots99999 = -1

が成り立ちます。したがって

 \displaystyle (-1) \times (-1) = \cdots 99999 \times \cdots 99999

となり、右辺は筆算によって

\begin{array}{rrrrrrrrrrrr} & & & & & \cdots &9&9&9&9&9&9\\ & & & & \!\!\times&\cdots&9&9&9&9&9&9\\\hline & & & & &\cdots&9&9&9&9&9&1\\ & & & &\cdots&9&9&9&9&9&1& \\ & & &\cdots&9&9&9&9&9&1& & \\ & &\cdots&9&9&9&9&9&1& & & \\ &\cdots&9&9&9&9&9&1& & & & \\ \cdots&9&9&9&9&9&1& & & & & \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots&& & & &  & \\ \hline &&&&&\cdots&0&0&0&0&0&1\\ \end{array}

となるので、

 \displaystyle (-1) \times (-1) = \cdots 99999 \times \cdots 99999 = \cdots 000001 = 1.

したがって

 \displaystyle (-1) \times (-1) = 1

が導出できました。

もちろんこれは10adicの世界で見た時の話であって、実数の世界で成立するかどうかは別の話だとも言えます。

まとめ

10adicの世界だと筆算によって (-1)\times (-1) = 1 が導出できるというのはちょっとだけ面白いかもしれません。