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数学中心のブログです。

1=0.9999999.... が成立するかという問題

今回は、昔から論争のある等式

 \displaystyle 1 = 0.9999\cdots

が成立するのかという問題について考えます。

よくある説明

説明1

左辺引く右辺を考えると

 \displaystyle 1-0.9999\cdots = 0.0000\cdots = 0

となるので

 \displaystyle 1 - 0.99999\cdots = 0

が得られます。一般に方程式

 \displaystyle 1 -x = 0

が成立すれば

 \displaystyle x= 1

なので

 \displaystyle 1 = 0.99999\cdots

が成立します。

説明2

 \displaystyle \frac{1}{3} = 0.3333\cdots

の両辺を3倍すれば

 \displaystyle 1 = 0.999999\cdots

が得られます。

説明3

 \displaystyle a = 0.9999\cdots \tag{1} \label{eq:a999c}

とおきます。

両辺を10倍すると

 \displaystyle 10 a = 9.9999\cdots \tag{2} \label{eq:a999ca}

が得られます。 \eqref{eq:a999ca} - \eqref{eq:a999c} より

 \displaystyle 9a = 9

よって、a=1 が成立します。

以上よくある説明を見ました。しかし、これですべての人が納得できるならば、そもそも論争になったりはしません。

なぜ納得できないのか

まず、注目したいのは、いろんな数の知識を一旦忘れて

 \displaystyle 1 = 0.999999\cdots

を「文字列」としてみると、明らかに異なるということです。

一般的に、異なるものを同一視するには、「何らかの約束」が必要です。

例えば、

リンゴ = トマト

という同一視を行いたいときは、

「文字列の長さが等しいものを同一視する」

というような約束が必要です。

無条件に等しいわけではありませんので、

リンゴ = トマト

という等式を説明する際、この約束を伝えなければ納得してもらえないでしょう。

本題に戻って、結局何がいいたいのかというと

 \displaystyle 1 = 0.999999\cdots

という等式を理解してもらいたければ、「同一視する約束」を伝えるべきだということです。

納得できない理由の結論

説明1,2,3 では、「同一視する約束」が明言されていません。ここが、納得できない主な理由なのではないでしょうか。隠されたルールで議論をされて、最終的に等しいといわれても、すっきりしないのはむしろ普通の感覚です。

実数の中で行われる同一視のルール

おおまかにいえば、

「限りなく近い数を同一視する」

これが隠されたルールです。

まず、実数の世界では、

0.9と1は少し近い。

0.99と1はほどほどに近い。

0.999と1はとても近い。

0.9999と1は非常に近い。

という「距離を感じる構造」があります。

この距離感で数を比較したとき、限りなく近いものを同一視するという約束をします。

そうすれば、

0.99999999\cdots1 は限りなく近い数と思えるので、ルール上等しいわけです。したがって

 \displaystyle 1 = 0.999999\cdots

の説明完了です。

ただ、この議論でもあいまいなところは残っており、それは、限りなく近いとはどういうことかというところです。しかしこれは、実数を直線上の点だと図形的に見れば納得できるのではないでしょうか。あるいは、差をとって、

 \displaystyle 0.0000\cdots

となるとき、両者は限りなく近い数だとみなすといっても良いでしょう。

さらにいうと、これまでの議論では

0.999999\cdots

が実数であることを仮定していますが、これが実数なのかを問うのは、そもそも「実数とは何か」という話になります。しかしそれは難しい話になるので、これ以上議論を進めることはしません。

結局お茶を濁している感はありますが、何事もほどほどに突っ込みすぎないのが健康的です。結局どこまでいっても究極的な厳密性なんてものは存在しないのですから。

このルールの有用性

「限りなく近い数を同一視する」という約束の有用性を議論します。

もしこの同一視を行わなければ

 \displaystyle 1 = 0.999999999\cdots

は成立するとはいえないので

 \displaystyle \frac{1}{3} = 0.33333333\cdots 

という等式も微妙な表現方法になり、正確には

 \displaystyle \frac{0.999999\cdots}{3} = 0.3333333\cdots

と書かなければならないでしょう。

 \displaystyle \frac{1}{7}  = 0.142857\cdots

も同じです、正確には

 \displaystyle \frac{0.999999999\cdots}{7} =0.142857\cdots

と書くべきですが、面倒です。

やはり、「限りなく近い数は同一視する」というルールを認めるのが便利なようです。

1=0.9999\cdots が成立しない世界

ちなみに、このブログでよく議論している10adicな数の世界では、

 \displaystyle 0.999999\cdots

は発散してしまいます。かわりに

 \displaystyle \cdots 999999

が収束して、-1 に等しくなります。つまり

 \displaystyle -1 = \cdots 9999999

が成立します。

10adic の世界でも「限りなく近い数を同一視する」という一見同じルールがあるのですが、距離感が異なるために「限りなく近い」の意味が変わって、まったく異なる等式が出現することになります。

要約

等式を説明するには「同一視するルール」を伝えるべきです。逆に、なぜ実数の世界ではルールをごまかす説明が一般的なのかというと、我々が親しんできたこの数の世界には、はじめから厳格なルールなんて規定されていかったからでしょう。ですので

「こういった変形はたぶん大丈夫だよね。よくやっているから。」

というような議論を積み重ねて証明としてしまうのもしょうがない話です。