ルート１の10 adic 連分数展開

今回も $10$ adic number のお話です。普通の数の世界で、「ルート１の連分数展開はどうなるのか」などといえば、ちょっと心配されてしまいそうですが、10 adic な世界では別段おかしな話ではありません。

10 adic number の世界には非自明な１の平方根というのがあり、これを求める方法はいくつかありますが、

10 adic な指数的極限値 - Root One

で導出した

$\displaystyle \sqrt{1} = 2 \lim_{n \to \infty} 5^{2^n} -1$

を用いる方法はわかりやすいです。(Maximaなどの数式処理ソフトを使用すると、この式からおそらく100桁くらいは簡単に求められます。）

実際に近似計算すると

$\displaystyle \sqrt{1} = \cdots 781249$

のようになりますが、以下、この「1の位の9」だけを利用して連分数展開に挑戦します。

10adic的に収束する連分数（準備）

当然のように通常の世界の連分数とは話が違います。10adicの連分数展開は10adic的に収束しなければなりません。結論から言うと次の形であれば収束します。

$\displaystyle a_0 + \frac{10b_0}{\displaystyle a_1 + \frac{10b_1}{\displaystyle a_2 + \frac{10b_2}{a_3 + \ddots} }} \tag{1} \label{afcds}$

ここで $a_n (n\geq 1)$ は「10と互いに素」で、 $b_n$ は整数です。

このような仮定をすると、上の連分数では、各段階で

$\displaystyle a_n + \text{10adic的に(絶対値が)1より小さい数}$

となっており、収束する様子を感じることができるかもしれません。

10進数の絶対値の説明はこのブログではしていませんが、

端的にいえば、10で割れるほど小さい数とみなすというのが、基本精神です。

詳細は

10進数の絶対値と距離（外部サイト）

を参照してください。

ルート1の連分数展開

\eqref{afcds} の形に持っていきたいので、

$\displaystyle \sqrt{1} - 9 = \cdots 1249 - 9 = \cdots 1240$

となることを考慮して

$\displaystyle \sqrt{1} = 9 + (\sqrt{1}-9 )$

と変形します。（通常の連分数展開で、整数部分＋小数部分と分割するようなもの?）

右辺第2項を有理化して

$\displaystyle \sqrt{1} = 9 + (\sqrt{1}-9) = 9 - \frac{80}{9 + \sqrt{1}}$

と変形します。以下これを繰り返し適用すれば

\begin{align} \sqrt{1} &= 9 + \sqrt{1}-9 \\ &= 9 - \frac{80}{\displaystyle 9 + \sqrt{1}} \\ &= 9 - \frac{80}{\displaystyle 18+ \sqrt{1}-9} \\ &= 9 - \frac{80}{\displaystyle18 - \frac{80}{\displaystyle9+\sqrt{1}}}\\ &= 9 - \frac{80}{\displaystyle18 - \frac{80}{\displaystyle 18 - {}_{\ddots} }} \end{align}

が得られます。しかし、この結果は \eqref{afcds} の仮定を満たしていません。なぜならば分母に18という10と互いに素でない数が来ているためです。そこで、2で割って少し変形すると収束性がはっきりします。

$\displaystyle \sqrt{1} = 9-\frac{40}{\displaystyle 9-\frac{20}{\displaystyle9-\frac{20}{\displaystyle9-\frac{20}{\displaystyle9-\ddots} } } }$

これで、\eqref{afcds} の仮定をみたす連分数展開が得られました。

早速、有限で切って妥当性を近似計算してチェックしてみましょう。

$\displaystyle 9-\frac{40}{\displaystyle 9-\frac{20}{\displaystyle9-\frac{20}{\displaystyle9-\frac{20}{\displaystyle9} } }} = \frac{4149}{2101}$

右辺の割り算は10 adic の世界の割り算ですが、10 adic の割り算というのは有限で切ればmod の話に帰着されます。

10 adic number の世界の割り算 - Root One

の手法で筆算も可能ですが、今の場合

$\displaystyle 2101 x \equiv 4149 \mod 10^4$

をとけばOKです。そして、これをとくと

$\displaystyle x = 1249$

が得られます。これを見ると、たしかに $\sqrt{1}$ と4桁一致しています。

まとめ

$\sqrt{1}$ の連分数展開を行ったところ

$\displaystyle \sqrt{1} = 9-\frac{40}{\displaystyle 9-\frac{20}{\displaystyle9-\frac{20}{\displaystyle9-\frac{20}{\displaystyle9-\ddots} } } }$

が得られました。ただし、計算効率はあまりよくなさそうです。

追記

もう少しきれいな連分数展開が見つかりました。

$\sqrt{1}$ を9倍するところがポイントです。

\begin{align} \frac{1+9\sqrt{1}}{2} = 1 + \frac{20}{\displaystyle1 + \frac{20}{\displaystyle 1 + \frac{20}{1 +\raise{10pt} {}_{\ddots} } }} \end{align}

Note. これは10adicの世界の等式ですが、通常の実数の世界でも $\sqrt{1}=1$ と取れば成立します。