Root One

数学中心のブログです。

非自明な1の平方根の不思議な性質

前回

10 adic な指数的極限値 - Root One

に引き続き、今回も 10 adic number のお話です。

5で無限回割れる数

ある整数 n が 5 で何回でも割れるとします。n はどんな数になるでしょうか。それが整数であれば

 \displaystyle n = 0

以外に可能性はありません。しかし、これは通常の数の世界の話です。10 adic number の世界では、0 以外に5で無限回割れる数が存在します。それは

 \displaystyle \sqrt{1}+1

です。ただし、ここで定義される \sqrt{1} は前回の記事

10 adic な指数的極限値 - Root One

で計算されるものとします。

なぜこの数が5で無限回われるかというと、これも前回導出した関係式ですが、

 \displaystyle \lim_{n\to \infty} 5^{2^n} = \frac{1+\sqrt{1}}{2}  \tag{1} \label{lni52n}

で左辺が5で無限回われるからです。したがって、2倍した数も5で無限回割れるので

 \displaystyle \sqrt{1} + 1

が5で無限回割れるということになります。

\eqref{lni52n} の左辺と右辺は独立に計算可能ですが、左辺の近似計算方法が分かりやすいのでこちらから計算すると

 \displaystyle \lim_{n\to \infty} 5^{2^n} = \cdots 8212890625 \tag{2} \label{lni625}

が得られます。この無限に続く数こそが5で無限回割れる数の正体となります。

\sqrt{1} の近似計算

\eqref{lni625} の結果を用いて、非自明なルート1を近似計算してみましょう。

\eqref{lni52n} が成り立つので、\eqref{lni625} より

 \displaystyle \frac{1+\sqrt{1}}{2} =  \cdots 8212890625

が得られます。したがって\sqrt{1} について解けば

 \displaystyle \sqrt{1} = \cdots16425781249 \tag{3} \label{eq:sc16}

が得られます。

2で無限回割れる数

次に2で無限回割れる数を探します。

 \displaystyle m := \frac{\sqrt{1}+1}{2} \frac{\sqrt{1}-1}{2} = \frac{1-1}{4} = 0

に注目します。

 \displaystyle \frac{\sqrt{1}+1}{2} は 5 で無限回割れました。

m=0 なので、m は10で無限回割ることができます。

しかし、

 \displaystyle \frac{1+\sqrt{1}}{2} =  \cdots 8212890625

は2で一回も割れません。

つまり、m=0 という結果は、

2で割れない5で無限回割れる数に、「ある数」をかけたら10で無限回割れる数になった。

ということを意味します。

ということは、「ある数」は2で無限回割れなければなりません。

したがって、

 \displaystyle \frac{\sqrt{1}-1}{2}

が2で無限回割れる数になります。\eqref{eq:sc16} を用いて近似計算すると

 \displaystyle \frac{\sqrt{1}-1}{2} =\cdots 212890624

が得られます。これが2で無限回割れる数です。(注:実際には無限につづく数ですので、近似値として最初の数桁をとってみてそれが無限回割れるわけではありません。ただし、桁を増やせば増やすほど2で割り切れる回数も増加させることができます。)

まとめ

1 でも -1 でもない非自明な10 adic number の世界の \sqrt{1}

 \displaystyle \sqrt{1}+1 \quad \text{は$5$で無限回割れる.}

 \displaystyle \sqrt{1}-1 \quad \text{は$2$で無限回割れる.}

という性質をもつ特徴的な数になる。

(ただし \sqrt{1} = \cdots 25781249 となるものを選ぶ。)