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数学中心のブログです。

もう一つの複素数(分解型複素数)

通常の複素数とは違う、

もう一つの複素数

ともいえるような数の世界が知られています。

それは「分解型素数」といわれるもので、1850年頃に発見されたそうです。(詳しくはWikipedia.)

通常の複素数

a+b\sqrt{-1} \quad (a,b\in \mathbb{R})

という形の数ですが、

分解型複素数

a+b\sqrt{1} \quad (a,b\in \mathbb{R})

という形になります。ただし、\sqrt{1} \neq \pm 1 であるとします。

つまり、分解型複素数の世界では

\[x^2=1\]

の解として \[ x= \pm1\] 以外の非自明な解があることを認めます。ここでは、その非自明な1の平方根\sqrt{1} と記します。

四則演算

分解型複素数の四則演算は、\sqrt{1}^2 が現れたら1 で置き換えればOKです。

足し算は

\[(a + \sqrt{1} b )  +( c+ \sqrt{1} d) = (a+c)+ \sqrt{1} (b+d) \]

と自然に定義でき、引き算も同様です。\[(a + \sqrt{1} b )  - ( c+ \sqrt{1} d) = (a-c)+ \sqrt{1} (b-d). \]

かけ算は

\[ (a + \sqrt{1} b )  ( c+ \sqrt{1} d) = (ac+bd) + \sqrt{1}(ad+bc) \]

となります。

割り算は、次のように分母を有理化して考えます。

\[\frac{1}{a+\sqrt{1}b} = \frac{a-\sqrt{1}b}{a^2-b^2}\]

割り算に関する注意

分解型複素数の割り算は

\[\frac{1}{a+\sqrt{1}b} = \frac{a-\sqrt{1}b}{a^2-b^2}\]

となるので、a^2-b^2=0 となる場合、

つまり  a = \pm b であると 分母 = 0 となり、逆元が計算できません。

したがって、分解型複素数の世界では、割り算が可能なのは、a \neq \pm b の時に限られます。

零因子の存在

 \[xy = 0 \quad (x\neq 0, y \neq 0) \]

となるような x,y は(非自明な)零因子と呼ばれます。分解型複素数にはこの零因子が存在します。なぜならば

\[(1+\sqrt{1})(1-\sqrt{1}) = 1 - \sqrt{1}^2 = 1-1 = 0\]

が成立するからです。

べき等元の存在

べき等元とは、

\[x^2 = x \]

をみたすような数のことです。

\[ a = \frac{1\pm\sqrt{1}}{2}\] はべき等元になります。

確認は簡単です。

\[ a^2 =\frac{2\pm2\sqrt{1}}{4} =\frac{1\pm\sqrt{1}}{2} =a  \]

オイラーの公式

この世界のオイラーの公式

e^{\sqrt{1}x} = \cosh x + \sqrt{1} \sinh x

となります。これはべき級数で指数関数や双曲線関数を定義すればすぐに導出できます。

詳細は

分解型複素数の基礎(外部サイト)

をご覧ください。

これを用いると、(通常のオイラーの公式による)三角関数の加法定理の導出と同じようにして、双曲線関数の加法定理も導けます。

分解型複素平面

双曲線 \[x^2-y^2=1\] は

\[\begin{cases} x = \pm \mathrm{cos h}\, t \\ y = \mathrm{sin h}\, t \end{cases}\]

とパラメータ表示できます。

したがって、分解型複素平面上の双曲線はオイラーの公式により

\[z = \pm e^{\sqrt{1}t} \]

と表示できることが分かります。

 

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分解型複素平面上の双曲線

ちなみに、上の図の点線部分が、逆元が存在しない数の集合になります。

コーシーの積分定理(分解型複素数版)

分解型複素積分も、通常の複素積分と同様に考えることができます。

たとえば単位円上で

\[\int_C z\, dz \]

という複素積分を考えてみます。円は、分解型複素平面では

\[C: z = \cos t + \sqrt{1} \sin t \quad ( t \in [0,2\pi] ) \]

とパラメータ表示できるので

\begin{align}\int_C z\, dz  &= \int_0^{2\pi} ( \cos t + \sqrt{1} \sin t) (-\sin t + \sqrt{1} \cos t) dt \\ &= \int_0^{2\pi}  \sqrt{1} \cos (2t) \, dt \\ & = 0. \end{align}

と計算できます。結果はご覧の通り 0 になりました。これは偶然でしょうか。

より簡単な計算で

\[\int_C 1 dz =0 \]

も確認できます。また、少し面倒ですが、

\[\int_C z^2 \, dz = 0 \]

も確認できます。 ここまでくると

\[\int_C z^n \, dz = 0 \quad  (n \geq 0) \]

を予想してみたくなります。また、さらに一般化すれば、これはコーシーの積分定理の分解型複素数版が成立することを示唆した結果とみることができます。

結論から言うと、どうやら成立するようです。真面目に文献を読んでないので、はっきりとした形では述べづらいのですが、コーシーリーマンから出発して、グリーンの定理に帰着させる議論がほとんどそのまま使用できるようです。

雰囲気だけですが、以下のような感じで証明できるはずです。

\begin{align*} \int_{C} f(z) \,dz &= \int_{C} (u+\sqrt{1} v) (dx+\sqrt{1} \,dy) \\ &= \int_{C} (u \,dx + v \,dy)+ \sqrt{1} \int_{C} (u \,dy + v\, dx) \\ &= \int_{E} (-u_y + v_x )\,dxdy+ \sqrt{1} \int_{E} (u_x - v_y )\,dx dy \\ &=0. \end{align*}

注意したいのは、この世界のコーシーリーマンの関係式は

\[\begin{cases} u_x = v_y \\ u_y = v_x \end{cases}\]

となることです。

コーシーの積分公式

ここまでくると、次はコーシーの積分公式のようなものが存在するのかということになりますが、この点については不明です。ちょっと探した程度では見つけることができませんでした。