Root One

数学中心のブログです。

10 adic number の世界の割り算

\newcommand\zten{\mathbb{Z}_{10}}

今回は、\zten における割り算について調べる。この新しい数の世界\ztenについては前回の記事や、その前の記事をご覧くいただくか、

あるいは外部サイトの情報系学習サイトを参考にしてほしい。

念のため断っておくが、これは「実数の世界のお話」ではないから、ここで行われている計算を学校などの試験で真似することは推奨しません。ただし、合同式には応用できる話ではあります。今回紹介する「左向き」筆算ができるようになると例えば

 \displaystyle 7x \equiv 1 \mod 10^{10}

という種類の合同式の解を求めることも簡単にできるようになります。

\ztenにおける割り算の「左向き」筆算

\zten では

 \displaystyle \frac{1}{7} = \cdots \overline{285714}3

となる(p-adic number の Wikipediaにも記載がある) が、これは

 

...

4

2

8

5

7

1

4

3

×

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

...

0

0

0

0

0

0

0

1

 として検算することができる。

では、この結果を得るにはどうすれば良いかであるが、それは次のように左向きに筆算を行うことで可能である。この左向きの割り算は特殊で、一番右にくる桁が消えるように商を選択することになる。

 

 

 

\cdots

4

2

8

5

7

1

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

\cdots

9

9

9

9

9

9

9

9

9

8

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

\cdots

9

9

9

9

9

9

9

9

7

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

\cdots

9

9

9

9

9

9

9

9

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

9

 

 

 

\cdots

9

9

9

9

9

9

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

 

 

 

 

\cdots

9

9

9

9

9

6

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

6

 

 

 

 

 

\cdots

9

9

9

9

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

\cdots

9

9

9

8

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

順を追って説明する。最初の段階では、

 \displaystyle 7x \equiv 1 \mod 10

を解き、その結果 x=3 を割り算の結果である最上部の一番右側に書く。

 

3

7

1

2

1

 そして、通常の割り算のように 7\times3=21を3行目に書く。

4行目で行っているのは、(ここが分かりづらいところ!)

 \displaystyle 1 - 21 = -20 = -1 -19 = \cdots99999 -19 = \cdots9999980

という計算である。決して 71-21 を行っているわけではない。

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

7

1

 

 

 

 

 

2

1

 \cdots

9

9

9

9

8

0

この 7 は割る数であって、偶然真上にあるだけであるから、これは無視しないといけない。次は

 \displaystyle 7x \equiv 8 \mod 10

を解き、x=4 を得てこれを、最上部の 3 の一つ左に書く。そして

7\times 4 = 28を5行目に書く。

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

 

7

1

 

 

 

 

 

2

1

 \cdots

9

9

9

9

8

0

 

 

 

 

2

8

 

次に行うのは、引き算

 \displaystyle \cdots99998-28=\cdots99970

である。これは最初の引き算と違って易しい。

以下このような操作を循環するまでくりかえせば良い。

慣れるまでに少し時間はかかるが、慣れてしまえば、通常の実数の世界の割り算と同じくらいスムーズにできるようになる。

ちなみに最初の合同式

 \displaystyle 7x \equiv 1 \mod 10^{10}

の解は

 \displaystyle x = \frac{1}{7}=\cdots \overline{285714}3

の最初の10桁を見れば良いから

 \displaystyle x \equiv 7142857143 \mod 10^{10}

が解として得られる。