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10 adic number の循環する数

前回の記事で、\mathbb{Z}_{10}という新しい数の世界を紹介した。

この新しい数の世界では、

\[\cdots 9999 = -1\]

という少し衝撃的な等式が成り立った。

今回も、引き続き、この新しい数の世界について調べていく。

具体的なテーマは、循環整数を有理数に変換する方法である。

実数の世界では

0.11111\cdots

 0.121212\cdots

などは循環小数といわれ、循環小数というのはかならず有理数によって

表現できることが知られている。

有理数への変換は簡単である。次のように行えば良い。

\[a = 0.11111\cdots \qquad (1)\]

とおく。両辺10倍して

\[10a = 1.1111\cdots \qquad (2)\]

を得る。(2)-(1)から

\[9a = 1\]

よって

\[a = \frac{1}{9}\]

となり、(1)に戻れば

\[\frac{1}{9} = 0.1111\cdots\]

が得られる。

\newcommand \zten {\mathbb{Z}_{10}}

\ztenの世界の循環する整数

\ztenの循環整数もやはり、有理数に変換できる。方法はほとんど実数の場合と同じである。

例として

\[\cdots 11111 \]

有理数に変換する。

\[a = \cdots 11111 \qquad (3) \]

とおく。この両辺を10倍する。

\[10a = \cdots 11110 \qquad (4) \]

(3)-(4)を考えれば

\[-9a = 1\]

が得られる。したがって

\[a = -\frac{1}{9}\]

つまり

\[\cdots11111 = -\frac{1}{9}\]

を得る。実際これが正しいことは、両辺を9倍すると

\[\cdots99999 = -1\]

が得られることで確認できる。

例2.

\[ x = \cdots 12121212 \qquad (5) \]

両辺を100倍すると

\[ 100x = \cdots 12121200 \qquad (6)\]

(5)-(6)から

\[-99x = 12\]

よって

\[x = -\frac{12}{99} = -\frac{4}{33}\]

が得られる。したがって

\[-\frac{4}{33} = \cdots 121212\]

が得られる。これの検算は右辺を33倍して

\[33 \times ( \cdots 121212)\]

を計算し結果が-4になることを確認できれば良い。

すこし計算は大変であるが、筆算を行ってみると

  \cdots 1 2 1 2
\times        3 3
   \cdots  3  6  3  6
   \cdots  6  3  6  
   \cdots  9  9  9 6

 が得られる。よって

\[33 \times ( \cdots 121212) = \cdots 99996 = -4\]

となり正しいことが確認できる。最後のイコールについては、前回の記事でも述べたが、

\[-4 = -1-3 = \cdots9999-3 = \cdots999996\]

から得られる。