Root One

数学中心のブログです。

10 adic number 入門の動画

今回は adic number の紹介動画を作成してみました。 以下、三つの動画の内容をマスターすれば、10 adic の世界での四則計算が自由にできるようになります。 Introduction to 10-adic numbers. この動画では、おなじみ?の の導出法や を10 adic number を利…

収束しない無限和の値を求める(2)

個人的には「収束しない無限和の値」と聞いた時、一番最初に というものが思い浮かびますが、これはそのインパクトからか、いろんなところで取り上げられているので、ここでは扱いません。 今回は、三角関数 の無限和 をチェザロ平均を用いて計算します。チ…

収束しない無限和の値を求める

次の無限級数 がどのような値に収束するかについて考えるのが今回のテーマです。 安直に考えれば、 か になりそうですが、 どちらをとってもしっくりきません。 では、どのような値にすべきでしょうか。 本題に入る前に無限和についての概要をまとめます。 …

解析的に1次合同式の解を見つける方法

今回の話は10adicの世界の知識がないと混乱の恐れがありますのでご注意ください。 一次合同式の解の見つけ方 合同式は、様々な方法で解くことができ、このブログでもいくつか解法を紹介してきました。今回はそれに加えて新たに「解析的に解を求める方法」に…

不可逆的なフィルターは作成可能か

今回も物理シミュレーションを行います。 問題設定 同じ大きさのボールを用意して、適当な初速を与えて、等速度運動をさせ、衝突は完全弾性とします。 分子運動論的な問題 - Root One と同じように中央をフィルターで横方向に分断しますが、今回は上下から見…

分子運動論的な問題

全く専門外ですが、今回はちょっとした物理シミュレーションについて考えてみます。 結論だけを先にいえば、今回何も得られていません。いくつか実験してみましたが、残念ながら何もわかりませんでした。 問題設定 枠として正方形を用意して、中央をフィルタ…

ビエトの公式

円周率 に関する公式はたくさんありますが、 今回はビエトの公式とよばれるもの周辺のものをまとめます。 ビエトの公式 ビエトの公式は、多重平方根による円周率の無限積表示で、次のような形になります。 この公式自体の導出は簡単です。 導出方法 三角関数…

(-1)×(-1) = 1 の 10adic的解釈

次の等式 について考えます。 分配法則を使用した説明 と変形できるので、初めと終わりを結んで が得られます。ここで とおくと を満たすので、 が得られます。したがって を導出することができました。 「分配法則が成立する」という仮定を使用しているとこ…

円運動する32個の点

あまり意味はないのですが、 32個の点を適当な方法で補間して曲線で結んで、さらに円運動させてみました。 1点に注目すると一定の中心を一定速度で運動しているはずなのですが、 全体的にみると、かなり複雑な運動をしているように見えます。 これも一種の…

フィボナッチ数列の部分列

ここでは、フィボナッチ数列は初項 として定義します。つまり \[f(n+2) = f(n+1) + f(n) \quad (f(0)=0,f(1)=1) \] という漸化式を満たすものとして定義します。 いくつか計算すると \[0,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 …

フィボナッチ数列の隠れた非線形3項間漸化式

前回の記事 フィボナッチ数列の母関数とその応用例 - Root One の議論をくりかえしていたら、ある線形でない3項間漸化式が見つかりました。 (一応断っておきますが、新発見だと主張するつもりはありません。経験上、少し議論をした程度で得られる初等的な結…

フィボナッチ数列の母関数とその応用例

フィボナッチ数列とは と続く数列で、 から始まり、以降は前の2項を足した結果となるものです。 というような感じで順番に決定されていきます。 今回は、このフィボナッチ数列 の「母関数」というものを考え、応用例として とおくとき という漸化式を導出し…

二つの数の世界を結ぶ等式 (合同式の新解法)

今回は、「実数」と「 adic number」の両方に関係するお話です。これまでは、比較することはあっても基本的には、実数は実数、10 adic number は 10 adic number として、別に議論を行ってきました。というのも、これらの数の世界は大きく異なった世界に見え…

2次元セルオートマトンから生成される幾何学模様

2次元上に広がる「白」と「黒」を状態として持つセルを考えます。 初期状態を適当にとり、適当な規則により、変化させていく様子を観察するのが、いわゆる「ライフゲーム」なのですが、ライフゲームの規則は、ざっくりいうと、斜めも含めて、周囲1つ隣のセ…

10adicルート1の収束の良い連分数展開

今回は adic number の世界のお話です。 非自明ルート1(前提となる知識) このブログでは10adicの世界の非自明ルート1を と記し となるものを取っています。実際、二乗して が確認できます。 このルート1を表現する方法はいくつかありますが、その一つが1…

ライフゲーム

ライフゲームというのは、数学者Conwayさんが考えた2次元上のセルのシミュレーションゲームのことです。 ルールは LifeGame (著者管理の外部サイト) に書きましたが、ここでも紹介します。 ライフゲームのルール 各セルは、白と黒の二つの状態しかとらない…

1=0.9999999.... が成立するかという問題

今回は、昔から論争のある等式 が成立するのかという問題について考えます。 よくある説明 説明1 左辺引く右辺を考えると となるので が得られます。一般に方程式 が成立すれば なので が成立します。 説明2 の両辺を3倍すれば が得られます。 説明3 とお…

一般10adic連分数展開

今回も10 adic number のお話です。 「通常の実数の世界」では、正の数 の連分数展開は、 と分解して、第2項の「小数点以下のもの」の逆数をとり、同じ操作をくりかえしていきます。 この手法を参考にして、 「10 adic の連分数展開」を と分解して、第2項か…

最も単純な 10 adic 連分数展開

黄金比の連分数展開は単純で、美しいともいえるかもしれません。 逆に見て、最も美しい連分数展開で表現されるものが黄金比だと捉えることにすれば、 adic 連分数展開の「黄金比」なるものを、もっとも単純な連分数展開で表現できるものとして定義しても良い…

ルート1の10 adic 連分数展開

今回も adic number のお話です。普通の数の世界で、「ルート1の連分数展開はどうなるのか」などといえば、ちょっと心配されてしまいそうですが、10 adic な世界では別段おかしな話ではありません。 10 adic number の世界には非自明な1の平方根というのが…

非自明な1の平方根の不思議な性質

前回 10 adic な指数的極限値 - Root One に引き続き、今回も 10 adic number のお話です。 5で無限回割れる数 ある整数 が 5 で何回でも割れるとします。 はどんな数になるでしょうか。それが整数であれば 以外に可能性はありません。しかし、これは通常の…

10 adic な指数的極限値

今回は 10 adic number の話です。この世界では が成立するのですが、どのようにしてこれが得られるのか調べます。 予備知識 10 adic number の世界では 以外に非自明な が存在して、 によって計算できるという話があります。(注意:右辺の割り算は10 adic n…

分解型複素積分によって原始関数を求める

三角関数 の逆数の積分 を求める方法はいくつかあります。 今回は、分解型複素積分 https://likethenovel.hatenablog.com/entry/2019/04/20/181423 を用いた方法を調べます。 スタンダードな方法 まず初めに、通常の解法を確認してみます。 \begin{align} \i…

分解型複素数と10進整数の指数関数

分解型複素数と、10進整数の世界の共通点は非自明な が存在することです。この点に注目して、両者の数の世界を比較すると面白いことが分かるかもしれません。今回は、指数関数をテーマに両者の世界の違いを比較します。 分解型複素数の世界の指数関数 基本と…

分解型複素積分

前回、分解型複素積分を用いて を得る話をしました。 likethenovel.hatenablog.com 今回はそれを一般化した話です。 次の分解型複素積分路で一般的に関数 を積分します。 二つの直線の傾きは、1と-1で、残りの曲線は の右側とします。 非常に粗い議論ですが…

とある定積分と分解型複素積分

大した話ではないのですが、最近計算した定積分の話です。 この左辺の積分は、三角関数の積和の公式を用いると、次の有名な定積分 に帰着できます。 ポイントとなる変形は です。(注. ) と 置換積分すれば が得られ、同様に と置換積分すれば が得られます…

もう一つの複素数(分解型複素数)

通常の複素数とは違う、 もう一つの複素数 ともいえるような数の世界が知られています。 それは「分解型複素数」といわれるもので、1850年頃に発見されたそうです。(詳しくはWikipedia.) 通常の複素数は という形の数ですが、 分解型複素数は という形にな…

svg 曲線アニメーション

(間違って消してしまったので再投稿します.) 今回は、svgの曲線を、(cssを用いずに) 徐々にアニメーションで表示する方法についてまとめます。 次はクリックを押すと、HELLOが表示されるアニメーションです。 Click 注:残念ながら、ブラウザによってはクリ…

SVGの利用法

svg

SVGの利点 SVGは画像形式の一つですが、ベクタ形式なので、拡大しても粗くなりません。 Word、Excel、 PowerPoint 、html などから利用できます。 SVGはテキストファイルなので、メモ帳があれば編集できます。 「円」を svg で作成する方法 メモ帳を起動して…

SVGのアニメーション

svg

SVGはベクター形式の図形を扱うもので、テキストとして編集でき、ちょっとしたアニメーションまで対応しているようです。 また、htmlの中で直接コードを張り付けることもでき、例えば、直線を描くならば、html の中にsvgというタグを使用し、 <line x1="0" y1="0" x2="30" y2="10" stroke="black"/> というような</line>…