Root One

数学中心のブログです。

p adic number

10adic指数関数と対数関数の意外な関係

adicの指数関数はべき級数で \begin{align} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\end{align} と定義します。 通常の指数関数と違い、収束半径は小さく、 が で割れないと収束しません。 ところで 10adic対数関数 - Root One の10adicの対数表によれば \b…

10adic対数関数

久しぶりに adicのお話です。 10adicの世界でも指数関数を考えることができるという話は以前していて、例えば という少し不思議な等式を紹介したこともありました。 ちょっと難しいかもしれませんが、これについては 指数関数の値 (外部サイト) で証明して…

2べきと5べきの美しい関係式

今回は adic のお話です。 10 adic numbers になじみがない方は、 10 adic number 入門の動画 - Root One をご覧ください。 2べきと5べきの極限 10 adic の世界では \begin{align} \lim_{n\to \infty} 2^{5^n} \end{align} と \begin{align} \lim_{n\to \inf…

フィボナッチ数列の周期性

フィボナッチ数列は単調増加数列なので純粋な周期というものは存在しませんが、下n桁を見ると周期をもちます。 フィボナッチ数列を f(n)とすると、次が確認できます。 𝑓(150000)=⋯ 9800000 𝑓(150001)=⋯ 4900001 𝑓(150002)=⋯ 4700001 𝑓(150003)=⋯ 9600002 𝑓(1…

フィボナッチ数列の周期と零に収束する部分列

フィボナッチ数列自身は、単調増加なので周期はないですが、自然数で割った余りを考えると、周期をもつことが知られています。 フィボナッチ数列の下1桁(1の位) フィボナッチ数列の1の位は、10で割った余りで考えることと同じなので、周期的になります。…

10 adic number 入門の動画

今回は adic number の紹介動画を作成してみました。 以下、三つの動画の内容をマスターすれば、10 adic の世界での四則計算が自由にできるようになります。 Introduction to 10-adic numbers. この動画では、おなじみ?の の導出法や を10 adic number を利…

解析的に1次合同式の解を見つける方法

今回の話は10adicの世界の知識がないと混乱の恐れがありますのでご注意ください。 一次合同式の解の見つけ方 合同式は、様々な方法で解くことができ、このブログでもいくつか解法を紹介してきました。今回はそれに加えて新たに「解析的に解を求める方法」に…

(-1)×(-1) = 1 の 10adic的解釈

次の等式 について考えます。 分配法則を使用した説明 と変形できるので、初めと終わりを結んで が得られます。ここで とおくと を満たすので、 が得られます。したがって を導出することができました。 「分配法則が成立する」という仮定を使用しているとこ…

二つの数の世界を結ぶ等式 (合同式の新解法)

今回は、「実数」と「 adic number」の両方に関係するお話です。これまでは、比較することはあっても基本的には、実数は実数、10 adic number は 10 adic number として、別に議論を行ってきました。というのも、これらの数の世界は大きく異なった世界に見え…

10adicルート1の収束の良い連分数展開

今回は adic number の世界のお話です。 非自明ルート1(前提となる知識) このブログでは10adicの世界の非自明ルート1を と記し となるものを取っています。実際、二乗して が確認できます。 このルート1を表現する方法はいくつかありますが、その一つが1…

一般10adic連分数展開

今回も10 adic number のお話です。 「通常の実数の世界」では、正の数 の連分数展開は、 と分解して、第2項の「小数点以下のもの」の逆数をとり、同じ操作をくりかえしていきます。 この手法を参考にして、 「10 adic の連分数展開」を と分解して、第2項か…

最も単純な 10 adic 連分数展開

黄金比の連分数展開は単純で、美しいともいえるかもしれません。 逆に見て、最も美しい連分数展開で表現されるものが黄金比だと捉えることにすれば、 adic 連分数展開の「黄金比」なるものを、もっとも単純な連分数展開で表現できるものとして定義しても良い…

ルート1の10 adic 連分数展開

今回も adic number のお話です。普通の数の世界で、「ルート1の連分数展開はどうなるのか」などといえば、ちょっと心配されてしまいそうですが、10 adic な世界では別段おかしな話ではありません。 10 adic number の世界には非自明な1の平方根というのが…

非自明な1の平方根の不思議な性質

前回 10 adic な指数的極限値 - Root One に引き続き、今回も 10 adic number のお話です。 5で無限回割れる数 ある整数 が 5 で何回でも割れるとします。 はどんな数になるでしょうか。それが整数であれば 以外に可能性はありません。しかし、これは通常の…

10 adic な指数的極限値

今回は 10 adic number の話です。この世界では が成立するのですが、どのようにしてこれが得られるのか調べます。 予備知識 10 adic number の世界では 以外に非自明な が存在して、 によって計算できるという話があります。(注意:右辺の割り算は10 adic n…

分解型複素数と10進整数の指数関数

分解型複素数と、10進整数の世界の共通点は非自明な が存在することです。この点に注目して、両者の数の世界を比較すると面白いことが分かるかもしれません。今回は、指数関数をテーマに両者の世界の違いを比較します。 分解型複素数の世界の指数関数 基本と…

意外な和の収束

冒頭から問題です。 はどのような数になるでしょうか。 (今回も の話です。これについては過去の記事を参照してください.) 階乗の性質 階乗 は が増加すると急速に増加します。例えば というよう感じです。実数の世界では明らかに となります。しかし、 の世…

二乗しても変わらない数

2乗しても変わらない自明でない数を見つけたいというのが今回のテーマです。 つまり となる数を見つけたいということですが、これは2次方程式なので、二つの解をもち、今の場合その解は に限ります。しかし、これは通常の実数の話です。 実数とは異なる数の…

数字で遊ぶ

1を2倍して2. また2倍して4という操作をくりかえして、どこまで計算できるでしょうか。 それはさておき、2の累乗(べき)というのは、面白い性質を持ちます。 今回のテーマは 2の累乗であそぶ です。 2べきの和を考える 2べきを順番に足していくと面白い…

10 adic number の世界の割り算

今回は、 における割り算について調べる。この新しい数の世界については前回の記事や、その前の記事をご覧くいただくか、 あるいは外部サイトの情報系学習サイトを参考にしてほしい。 念のため断っておくが、これは「実数の世界のお話」ではないから、ここで…

10 adic number の循環する数

前回の記事で、という新しい数の世界を紹介した。 この新しい数の世界では、 \[\cdots 9999 = -1\] という少し衝撃的な等式が成り立った。 今回も、引き続き、この新しい数の世界について調べていく。 具体的なテーマは、循環整数を有理数に変換する方法であ…

実数とは異なるもう一つの数の世界

この記事では、「p adic number」 という実数とは異なる数の世界を紹介する。 この数の世界の発見は実数と比較して、かなり新しく、 約100年ほど前にHenselによって、発見されたものである。 端的に言えば、小数点以下右に無限に数が続く世界が、 よく知って…