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数学中心のブログです。

数学

10 adic な指数的極限値

今回は 10 adic number の話です。この世界では が成立するのですが、どのようにしてこれが得られるのか調べます。 予備知識 10 adic number の世界では 以外に非自明な が存在して、 によって計算できるという話があります。(注意:右辺の割り算は10 adic n…

分解型複素積分によって原始関数を求める

三角関数 の逆数の積分 を求める方法はいくつかあります。 今回は、分解型複素積分 https://likethenovel.hatenablog.com/entry/2019/04/20/181423 を用いた方法を調べます。 スタンダードな方法 まず初めに、通常の解法を確認してみます。 \begin{align} \i…

分解型複素数と10進整数の指数関数

分解型複素数と、10進整数の世界の共通点は非自明な が存在することです。この点に注目して、両者の数の世界を比較すると面白いことが分かるかもしれません。今回は、指数関数をテーマに両者の世界の違いを比較します。 分解型複素数の世界の指数関数 基本と…

分解型複素積分

前回、分解型複素積分を用いて を得る話をしました。 likethenovel.hatenablog.com 今回はそれを一般化した話です。 次の分解型複素積分路で一般的に関数 を積分します。 二つの直線の傾きは、1と-1で、残りの曲線は の右側とします。 非常に粗い議論ですが…

とある定積分と分解型複素積分

大した話ではないのですが、最近計算した定積分の話です。 この左辺の積分は、三角関数の積和の公式を用いると、次の有名な定積分 に帰着できます。 ポイントとなる変形は です。(注. ) と 置換積分すれば が得られ、同様に と置換積分すれば が得られます…

もう一つの複素数(分解型複素数)

通常の複素数とは違う、 もう一つの複素数 ともいえるような数の世界が知られています。 それは「分解型複素数」といわれるもので、1850年頃に発見されたそうです。(詳しくはWikipedia.) 通常の複素数は という形の数ですが、 分解型複素数は という形にな…

黄金比と多重根号

前回の記事で方程式の根の表示方法について述べました。 今回は同じ手法を用いて、黄金比の多重立方根表示を得たいと思います。 黄金比を とおくと \begin{align} g^2 = 1 + g \qquad \text{(1)}\end{align} という方程式を満たします。両辺に平方根をとると…

高次方程式の解を表示する

このブログでは 進的話題ばかり取り上げているので、最初にことわっておきますが、 今回は通常の実数のお話です。 2次方程式の解の公式は中学数学で教わりますが、3次方程式にも解の公式が存在します。とはいっても大変複雑です。また、この解の公式を使用し…

意外な和の収束

冒頭から問題です。 はどのような数になるでしょうか。 (今回も の話です。これについては過去の記事を参照してください.) 階乗の性質 階乗 は が増加すると急速に増加します。例えば というよう感じです。実数の世界では明らかに となります。しかし、 の世…

正則でない連分数展開

最近ふと疑問に思ったのですが、なぜ正則な連分数展開では 連分数展開したい数 = 整数部分+小数部分 と分割するのかということです。 例えば、を連分数に展開するとき というように分けますが、別に でも良いのではないかと、むしろこちらのほうが収束がよ…

二乗しても変わらない数

2乗しても変わらない自明でない数を見つけたいというのが今回のテーマです。 つまり となる数を見つけたいということですが、これは2次方程式なので、二つの解をもち、今の場合その解は に限ります。しかし、これは通常の実数の話です。 実数とは異なる数の…

数字で遊ぶ

1を2倍して2. また2倍して4という操作をくりかえして、どこまで計算できるでしょうか。 それはさておき、2の累乗(べき)というのは、面白い性質を持ちます。 今回のテーマは 2の累乗であそぶ です。 2べきの和を考える 2べきを順番に足していくと面白い…

10 adic number の世界の割り算

今回は、 における割り算について調べる。この新しい数の世界については前回の記事や、その前の記事をご覧くいただくか、 あるいは外部サイトの情報系学習サイトを参考にしてほしい。 念のため断っておくが、これは「実数の世界のお話」ではないから、ここで…

10 adic number の循環する数

前回の記事で、という新しい数の世界を紹介した。 この新しい数の世界では、 \[\cdots 9999 = -1\] という少し衝撃的な等式が成り立った。 今回も、引き続き、この新しい数の世界について調べていく。 具体的なテーマは、循環整数を有理数に変換する方法であ…

実数とは異なるもう一つの数の世界

この記事では、「p adic number」 という実数とは異なる数の世界を紹介する。 この数の世界の発見は実数と比較して、かなり新しく、 約100年ほど前にHenselによって、発見されたものである。 端的に言えば、小数点以下右に無限に数が続く世界が、 よく知って…

センター試験(2019)の不定方程式

センター試験(2019)の数学1・Aの整数問題で、不定方程式 が出題されました。 これを満たす最小の自然数 と を求めよという問題なのですが、 ここでは、合同式を用いて解いてみたいと思います。 まず、 から求めます。問題の不定方程式から を消去するため で…

数式入力に感動

はてなブログでは標準的に数式が入力できると知って感動しました。 記念して、問題を勝手に提示します。よかったら挑戦してみてください。 問題. 次の値を求めよ。 これは次の問題と同じ意味になります。 問題. 任意の自然数に対して をみたす最小の定数を求…