Root One

数学中心のブログです。

数学

PowerPoint・Wordの数式入力

数式入力といえば、LaTeX ですが、PowerPoint・Word・Excel などのオフィス製品でも、ある程度高度な数式、例えば のようなものは入力可能です。 高度な数式や、美しさを求めるとLaTeXになるかもしれませんが、簡単な数式であれば、手軽かつ高速に入力できる…

10adic指数関数と対数関数の意外な関係

adicの指数関数はべき級数で \begin{align} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\end{align} と定義します。 通常の指数関数と違い、収束半径は小さく、 が で割れないと収束しません。 ところで 10adic対数関数 - Root One の10adicの対数表によれば \b…

10adic対数関数

久しぶりに adicのお話です。 10adicの世界でも指数関数を考えることができるという話は以前していて、例えば という少し不思議な等式を紹介したこともありました。 ちょっと難しいかもしれませんが、これについては 指数関数の値 (外部サイト) で証明して…

テイラー展開可能性の特殊性

今回のテーマは「テイラー展開」です。 テイラー展開は、おそらく大学1年の「微分積分学」の授業で教わる概念だと思いますが、通常、数学の概念がそうであるように、この概念も「さらっと」何でもないことのように教わることが多いのではないかなと思います…

微分せずに微分する方法

適当な関数 について、差分 というものを考えます。この関係式で 指数関数に微分演算子を代入 - Root One の記事でみた式 を適用してみると と書くことができます。関数 を消すと という「演算子間」の等式になります。 そして、これを形式的に微分演算子に…

二項級数に微分演算子を代入

指数関数に微分演算子を代入すると がある種の関数 について成立します。もう少し一般化して と書くこともできます。 例. のケース. \begin{align} \exp \left( c \frac{d}{dx} \right) x^2 & = \left(1+c\frac{d}{dx}+\frac{c^2}{2!} \left(\frac{d}{dx} \r…

この関数方程式が解けますか?(2)

次の関数方程式を満たす関数 を一つ求めてください。 参考情報 この問題も某予備校講師のAさんに解いてもらいましたが、前の問題 この関数方程式が解けますか? - Root One よりは簡単だったということでした。 解答は下です。 ↓ ↓ ↓ 解答例. 関数方程式 に…

この関数方程式が解けますか?

次の関数方程式を満たす関数 を一つ (初等関数の中で) 見つけてください。 参考情報 この問題を某予備校講師のAさんに出題したところ、 「1時間ほどガチャガチャやったら解けた」 という報告をいただきました。 曰く「1時間も」かかってしまったというような…

関数方程式の解法

前回、指数関数 に微分演算子を代入して がある種の関数について成立することを確認しました。 この関係式の応用例として の形の関数方程式を解いたのですが、他にもいろいろな関数方程式を解くことができます。 例1. これを と書きかえ、 について解きます…

指数関数に微分演算子を代入

関数に代入して良いのは、変数や数値だけではありません。かなり大胆ですが、微分演算子を代入することもできます。 今回は、指数関数 に微分演算子 を代入するとどうなるかについて考察し、応用として、べき乗和の公式の導出方法について述べます。 ポイン…

2べきと5べきの美しい関係式

今回は adic のお話です。 10 adic numbers になじみがない方は、 10 adic number 入門の動画 - Root One をご覧ください。 2べきと5べきの極限 10 adic の世界では \begin{align} \lim_{n\to \infty} 2^{5^n} \end{align} と \begin{align} \lim_{n\to \inf…

三角形の内接円・外接円・傍接円・九点円

一つの三角形に対して、内接円と外接円がそれぞれ一つずつ決まります。 今回は、これらの円の他に傍接円というものを扱いますが、これは比較的なじみの薄いものかもしれません。 傍接円は、三角形外部に中心があって、一辺に接し、他の2辺の延長線と接するも…

フィボナッチ数列の周期性

フィボナッチ数列は単調増加数列なので純粋な周期というものは存在しませんが、下n桁を見ると周期をもちます。 フィボナッチ数列を f(n)とすると、次が確認できます。 𝑓(150000)=⋯ 9800000 𝑓(150001)=⋯ 4900001 𝑓(150002)=⋯ 4700001 𝑓(150003)=⋯ 9600002 𝑓(1…

フィボナッチ数列の周期と零に収束する部分列

フィボナッチ数列自身は、単調増加なので周期はないですが、自然数で割った余りを考えると、周期をもつことが知られています。 フィボナッチ数列の下1桁(1の位) フィボナッチ数列の1の位は、10で割った余りで考えることと同じなので、周期的になります。…

10 adic number 入門の動画

今回は adic number の紹介動画を作成してみました。 以下、三つの動画の内容をマスターすれば、10 adic の世界での四則計算が自由にできるようになります。 Introduction to 10-adic numbers. この動画では、おなじみ?の の導出法や を10 adic number を利…

収束しない無限和の値を求める(2)

個人的には「収束しない無限和の値」と聞いた時、一番最初に というものが思い浮かびますが、これはそのインパクトからか、いろんなところで取り上げられているので、ここでは扱いません。 今回は、三角関数 の無限和 をチェザロ平均を用いて計算します。チ…

収束しない無限和の値を求める

次の無限級数 がどのような値に収束するかについて考えるのが今回のテーマです。 安直に考えれば、 か になりそうですが、 どちらをとってもしっくりきません。 では、どのような値にすべきでしょうか。 本題に入る前に無限和についての概要をまとめます。 …

解析的に1次合同式の解を見つける方法

今回の話は10adicの世界の知識がないと混乱の恐れがありますのでご注意ください。 一次合同式の解の見つけ方 合同式は、様々な方法で解くことができ、このブログでもいくつか解法を紹介してきました。今回はそれに加えて新たに「解析的に解を求める方法」に…

ビエトの公式

円周率 に関する公式はたくさんありますが、 今回はビエトの公式とよばれるもの周辺のものをまとめます。 ビエトの公式 ビエトの公式は、多重平方根による円周率の無限積表示で、次のような形になります。 この公式自体の導出は簡単です。 導出方法 三角関数…

(-1)×(-1) = 1 の 10adic的解釈

次の等式 について考えます。 分配法則を使用した説明 と変形できるので、初めと終わりを結んで が得られます。ここで とおくと を満たすので、 が得られます。したがって を導出することができました。 「分配法則が成立する」という仮定を使用しているとこ…

フィボナッチ数列の部分列

ここでは、フィボナッチ数列は初項 として定義します。つまり \[f(n+2) = f(n+1) + f(n) \quad (f(0)=0,f(1)=1) \] という漸化式を満たすものとして定義します。 いくつか計算すると \[0,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 …

フィボナッチ数列の隠れた非線形3項間漸化式

前回の記事 フィボナッチ数列の母関数とその応用例 - Root One の議論をくりかえしていたら、ある線形でない3項間漸化式が見つかりました。 (一応断っておきますが、新発見だと主張するつもりはありません。経験上、少し議論をした程度で得られる初等的な結…

フィボナッチ数列の母関数とその応用例

フィボナッチ数列とは と続く数列で、 から始まり、以降は前の2項を足した結果となるものです。 というような感じで順番に決定されていきます。 今回は、このフィボナッチ数列 の「母関数」というものを考え、応用例として とおくとき という漸化式を導出し…

二つの数の世界を結ぶ等式 (合同式の新解法)

今回は、「実数」と「 adic number」の両方に関係するお話です。これまでは、比較することはあっても基本的には、実数は実数、10 adic number は 10 adic number として、別に議論を行ってきました。というのも、これらの数の世界は大きく異なった世界に見え…

10adicルート1の収束の良い連分数展開

今回は adic number の世界のお話です。 非自明ルート1(前提となる知識) このブログでは10adicの世界の非自明ルート1を と記し となるものを取っています。実際、二乗して が確認できます。 このルート1を表現する方法はいくつかありますが、その一つが1…

1=0.9999999.... が成立するかという問題

今回は、昔から論争のある等式 が成立するのかという問題について考えます。 よくある説明 説明1 左辺引く右辺を考えると となるので が得られます。一般に方程式 が成立すれば なので が成立します。 説明2 の両辺を3倍すれば が得られます。 説明3 とお…

一般10adic連分数展開

今回も10 adic number のお話です。 「通常の実数の世界」では、正の数 の連分数展開は、 と分解して、第2項の「小数点以下のもの」の逆数をとり、同じ操作をくりかえしていきます。 この手法を参考にして、 「10 adic の連分数展開」を と分解して、第2項か…

最も単純な 10 adic 連分数展開

黄金比の連分数展開は単純で、美しいともいえるかもしれません。 逆に見て、最も美しい連分数展開で表現されるものが黄金比だと捉えることにすれば、 adic 連分数展開の「黄金比」なるものを、もっとも単純な連分数展開で表現できるものとして定義しても良い…

ルート1の10 adic 連分数展開

今回も adic number のお話です。普通の数の世界で、「ルート1の連分数展開はどうなるのか」などといえば、ちょっと心配されてしまいそうですが、10 adic な世界では別段おかしな話ではありません。 10 adic number の世界には非自明な1の平方根というのが…

非自明な1の平方根の不思議な性質

前回 10 adic な指数的極限値 - Root One に引き続き、今回も 10 adic number のお話です。 5で無限回割れる数 ある整数 が 5 で何回でも割れるとします。 はどんな数になるでしょうか。それが整数であれば 以外に可能性はありません。しかし、これは通常の…