Root One

数学中心のブログです。

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列の周期性

フィボナッチ数列は単調増加数列なので純粋な周期というものは存在しませんが、下n桁を見ると周期をもちます。 フィボナッチ数列を f(n)とすると、次が確認できます。 𝑓(150000)=⋯ 9800000 𝑓(150001)=⋯ 4900001 𝑓(150002)=⋯ 4700001 𝑓(150003)=⋯ 9600002 𝑓(1…

フィボナッチ数列の周期と零に収束する部分列

フィボナッチ数列自身は、単調増加なので周期はないですが、自然数で割った余りを考えると、周期をもつことが知られています。 フィボナッチ数列の下1桁(1の位) フィボナッチ数列の1の位は、10で割った余りで考えることと同じなので、周期的になります。…

フィボナッチ数列の部分列

ここでは、フィボナッチ数列は初項 として定義します。つまり \[f(n+2) = f(n+1) + f(n) \quad (f(0)=0,f(1)=1) \] という漸化式を満たすものとして定義します。 いくつか計算すると \[0,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 …

フィボナッチ数列の隠れた非線形3項間漸化式

前回の記事 フィボナッチ数列の母関数とその応用例 - Root One の議論をくりかえしていたら、ある線形でない3項間漸化式が見つかりました。 (一応断っておきますが、新発見だと主張するつもりはありません。経験上、少し議論をした程度で得られる初等的な結…

フィボナッチ数列の母関数とその応用例

フィボナッチ数列とは と続く数列で、 から始まり、以降は前の2項を足した結果となるものです。 というような感じで順番に決定されていきます。 今回は、このフィボナッチ数列 の「母関数」というものを考え、応用例として とおくとき という漸化式を導出し…