Root One

数学中心のブログです。

シンプルで非自明な等式

10adic の世界で発見した美しい等式に関する話です。 10 adic の世界とは 実数は良く知られた世界で端的に言えば が成立する世界の話です。 一方、10 adic numbers という世界があって、これは比較的最近(100年ほど前?) に発見されたもので、 が成立する世…

自明でない1の平方根は無理数

自明でない1の平方根を と記述します。 自明でないというのは という意味です。 そんな数は存在するのかという話ですが、普通の数の世界では存在しませんが、 無限桁の整数を許す10adicな世界では存在します。 (10 adic については過去記事で何度か述べて…

最近試したこと

本当かどうかは調べていませんが、 聞いた話では、いくつかの有名企業が、瞑想を取り入れているらしいです。 集中力が高まるとか、作業効率が上がるとか いろいろとメリットがあるらしいですね。 瞑想の方法 以下、個人的に実践した瞑想方法を述べますが、 …

Wordの独立数式モードについて

久しぶりの更新になってしまいましたが 今回はWordの数式入力機能に関する一つの次の不便な現象 分数にすると積分や和の表示が文中数式モードになってしまう。 の回避手段について考えていきます。 Word の文中数式モードの回避手段 文中数式は「縦方向にス…

並列処理でzeta(2)を計算

今回は次の有名な等式(の右辺)をプログラム(C++)で並列処理をして近似計算してみようというのがテーマです。 単純に足し上げる場合と並列処理をした場合で時間がどれくらい異なるかを実験してみました。 ちなみに正確な値は となっています。 並列化に用いる…

すべてはmain関数から始まる(と思っていた話)

最近数学から離れていて、C++の話が中心になっています. 今回もC++です. 早速本題に入っていきます。 main関数は「はじめに実行される」と教わったような... おそらく、プログラムを勉強するときに最初に作成するのが Hello World を表示するプログラムだと…

C++で関数に配列を渡す時の難点

配列利用時の不満点 C言語でも同じですが、C++でも配列を外部の関数に渡すと、外部の関数内で配列のサイズの取得ができなくなってしまいます。 そこで、配列を渡す時に、次のように一緒にサイズも渡さなければなりません。 渡された配列の要素に1を加えるだ…

いろいろな方法で和を考える(C++)

今回は、プログラミング言語C++で、いろいろな方法で配列の和について考えていきたいと思います。 一番基本的な方法 まず、for文を用いて配列の和を計算します。 #include <iostream> using namespace std; int main() { int a[] = { 1,2,3 }; int sum = 0; for (int i</iostream>…

数式が上手く表示されない現象

最近気づいたのですが、 大部分の数式が上手く表示されなくなってしまいました。 tex:をつければ上手くいくのですが、 と表示したくて、 \[x^2=1\] と書くと、2020/3/27 現在、上手く表示されません。 一方で、 begin{align} end{align} を使って表現した数…

C++のソート

C++のソートについてまとめてみました。 ソートと重複要素削除 (外部サイト) ソートの難しいところ 1次元のソートは簡単ですが、難しいのは多次元のソートです。 例えば、 月 日 1 7 2 3 1 2 2 7 2 2 1 3 というデータを月順にソートすると 月 日 1 7 1 2 1 …

C++で驚いた話

最近C++をさわりはじめたのですが、 すこし驚いたことがあったので、メモを残しておきたいと思います。 少し驚いたコード vector<int> v = { 1,2,3 }; for (int i = 0; i < v.size() - 4; i++) { cout << v[i] << endl; if (i == 2) break; } 実行結果. 123 何が</int>…

PowerPoint・Wordの数式入力

数式入力といえば、LaTeX ですが、PowerPoint・Word・Excel などのオフィス製品でも、ある程度高度な数式、例えば のようなものは入力可能です。 高度な数式や、美しさを求めるとLaTeXになるかもしれませんが、簡単な数式であれば、手軽かつ高速に入力できる…

10adic指数関数と対数関数の意外な関係

adicの指数関数はべき級数で \begin{align} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\end{align} と定義します。 通常の指数関数と違い、収束半径は小さく、 が で割れないと収束しません。 ところで 10adic対数関数 - Root One の10adicの対数表によれば \b…

10adic対数関数

久しぶりに adicのお話です。 10adicの世界でも指数関数を考えることができるという話は以前していて、例えば という少し不思議な等式を紹介したこともありました。 ちょっと難しいかもしれませんが、これについては 指数関数の値 (外部サイト) で証明して…

テイラー展開可能性の特殊性

今回のテーマは「テイラー展開」です。 テイラー展開は、おそらく大学1年の「微分積分学」の授業で教わる概念だと思いますが、通常、数学の概念がそうであるように、この概念も「さらっと」何でもないことのように教わることが多いのではないかなと思います…

微分せずに微分する方法

適当な関数 について、差分 というものを考えます。この関係式で 指数関数に微分演算子を代入 - Root One の記事でみた式 を適用してみると と書くことができます。関数 を消すと という「演算子間」の等式になります。 そして、これを形式的に微分演算子に…

二項級数に微分演算子を代入

指数関数に微分演算子を代入すると がある種の関数 について成立します。もう少し一般化して と書くこともできます。 例. のケース. \begin{align} \exp \left( c \frac{d}{dx} \right) x^2 & = \left(1+c\frac{d}{dx}+\frac{c^2}{2!} \left(\frac{d}{dx} \r…

この関数方程式が解けますか?(2)

次の関数方程式を満たす関数 を一つ求めてください。 参考情報 この問題も某予備校講師のAさんに解いてもらいましたが、前の問題 この関数方程式が解けますか? - Root One よりは簡単だったということでした。 解答は下です。 ↓ ↓ ↓ 解答例. 関数方程式 に…

この関数方程式が解けますか?

次の関数方程式を満たす関数 を一つ (初等関数の中で) 見つけてください。 参考情報 この問題を某予備校講師のAさんに出題したところ、 「1時間ほどガチャガチャやったら解けた」 という報告をいただきました。 曰く「1時間も」かかってしまったというような…

関数方程式の解法

前回、指数関数 に微分演算子を代入して がある種の関数について成立することを確認しました。 この関係式の応用例として の形の関数方程式を解いたのですが、他にもいろいろな関数方程式を解くことができます。 例1. これを と書きかえ、 について解きます…

指数関数に微分演算子を代入

関数に代入して良いのは、変数や数値だけではありません。かなり大胆ですが、微分演算子を代入することもできます。 今回は、指数関数 に微分演算子 を代入するとどうなるかについて考察し、応用として、べき乗和の公式の導出方法について述べます。 ポイン…

やまない雨はない

何か落ち込むことが続くとこの言葉に勇気づけられることがあります。 しかし、実際どの程度待てば、雨は止むのでしょうか。 今回は、それを気象庁のデータ(2018年東京)をもとに分析してみました。 注:以下の実験結果には、データの読み間違いやプログラム…

自動生成の漢字パズル

夏目漱石の小説(「吾輩は猫である」、「こころ」)から、2字熟語を抽出して、 2字熟語漢字パズルを自動生成するプログラムを作ってみました。 東西南北に漢字があり、2字熟語が成立するように中央の漢字を選ぶパズルです。 例. 感 驚 願 賞 答え 嘆 このパ…

〇×ゲーム(三目ならべ)の勝率

「〇×ゲーム」といえば、昔、紙の上ではもちろん、グラウンドでも木の枝で線を書いて遊んだ記憶があります。 このゲームは、先手と後手がお互い最善を尽くせば引き分けになることが知られていますが、今回は「ランダム」に指し手を選んだとして、 先手勝ち・…

初手から詰まされる将棋

変則将棋のルール 変更ルール:とった駒は相手の駒台にのせる。 初期局面 今回は、玉の両サイドに「角と飛車」を配置してみました。 先手と後手どちらが勝ちなのか 今回は、はっきりしています。 結論:「先手勝ち」 理由は簡単で、初期局面から詰んでいるか…

駒損しない将棋

通常の将棋をベースにして、ルールを若干変えて楽しむ、 変則将棋とよばれるものがあります。 Wikipediaなどを調べてみると、一度に2手させるとか、駒の動きを変えてみるとかいろいろなルール変更が考えられていて、面白そうです。 ということで、今回は、新…

2べきと5べきの美しい関係式

今回は adic のお話です。 10 adic numbers になじみがない方は、 10 adic number 入門の動画 - Root One をご覧ください。 2べきと5べきの極限 10 adic の世界では \begin{align} \lim_{n\to \infty} 2^{5^n} \end{align} と \begin{align} \lim_{n\to \inf…

三角形の内接円・外接円・傍接円・九点円

一つの三角形に対して、内接円と外接円がそれぞれ一つずつ決まります。 今回は、これらの円の他に傍接円というものを扱いますが、これは比較的なじみの薄いものかもしれません。 傍接円は、三角形外部に中心があって、一辺に接し、他の2辺の延長線と接するも…

フィボナッチ数列の周期性

フィボナッチ数列は単調増加数列なので純粋な周期というものは存在しませんが、下n桁を見ると周期をもちます。 フィボナッチ数列を f(n)とすると、次が確認できます。 𝑓(150000)=⋯ 9800000 𝑓(150001)=⋯ 4900001 𝑓(150002)=⋯ 4700001 𝑓(150003)=⋯ 9600002 𝑓(1…

フィボナッチ数列の周期と零に収束する部分列

フィボナッチ数列自身は、単調増加なので周期はないですが、自然数で割った余りを考えると、周期をもつことが知られています。 フィボナッチ数列の下1桁(1の位) フィボナッチ数列の1の位は、10で割った余りで考えることと同じなので、周期的になります。…