数学のブログ

数式の表示について

最近、多くの数式が上手く表示されなくなってしまいました。理由はわかりませんが、改善されることを願います。

ブログの内容

数学がメインです。特に「p 進数」や「分解型複素数」など「実数とは異なる数の世界」の話が多いかもしれません。見慣れない数の世界なので、あやしい印象を受けるかもしれませんがしっかりとした理論が構築された立派な数学ですのでその点はご安心ください。ただ、記事の内容に誤りがないという保証はありません。

$10$ adic number について

端的にいうと $\cdots 0000000 = 0$ という同一視をする世界が10 adic number の世界です。このような約束をすると $-1 = \cdots 999999$ という不思議な等式が自然に表れます。なぜならば、 $x =\cdots 999999$ とおいて $1$ を加えると $x + 1 = \cdots 999999+ 1 = \cdots 000000 = 0$ となり $x+1 = 0$ が得られ、移項すれば $x = -1$ となるので $x$ の定義に戻れば $-1 = \cdots 999999$ が得られるからです。

最初、上の議論はとんでもないようなものに見えますが、数学者はこのような計算を真面目に、そして十分な厳密性をもって行っています。

比較のために、実数の世界を考えます。実数の世界では $0.00000\cdots =0$ という同一視が行われますが、これを仮定すると $1 = 0.999999\cdots$ というような式が自然と生じてきます。なぜならば「左辺-右辺」を行うと $1 - 0.999999\cdots = 0.00000\cdots = 0$ となるからです。ここで用いられているのは、 $x - 1 = 0$ ならば $x = 1$ という主張です。

まとめ

10 adic number の世界は $\cdots 0000000 = 0$ という同一視を行う世界で、実数の世界は $0.00000\cdots =0$ という同一視を行う世界となります。「左」につづく0の列を0とみるか「右」につづく0の列を0とみるかという違いだけですが、そこから生まれる数の世界はかなり違ったものとなります。

10 adic number と分解型複素数の知名度

10 adic number は実数と比べて、分解型複素数は通常の複素数と比べて、圧倒的に知名度は低いようです。しかし、個人的には、実数や複素数と対等の関係があるような深さをもつ数の世界ではないかと思っています。

ということで、非常に微力ではありますが、このブログを通して、これらの数の世界の面白さを伝えることができればうれしいなと思っています。

10 adic の世界の非自明な1の平方根

10 adic の世界では自明でない1の平方根が存在します。その一つが $\cdots 25781249$ と無限につづく数になります。実際に二乗してみると $(\cdots 25781249)^2 = \cdots 00000001= 1$ となる様子が確認できますはずです。このブログで $\sqrt{1}$ が出てくる場合は、この非自明なものを指している場合が多いです。（ただし、分解型複素数の世界にある $\sqrt{1}$ とは別のものです.）